Construir o modelo matemático de programação linear dos sistemas descritos a seguir:
Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa “A” com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 telespectadores, enquanto o programa " B ", com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso de no mínimo, 5 minutos para sua propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o número máximo de telespectadores? Construa o modelo do sistema.
Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa “A” com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 telespectadores, enquanto o programa " B ", com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso de no mínimo, 5 minutos para sua propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o número máximo de telespectadores? Construa o modelo do sistema.
Passo 1
O enunciado pede que se determine quantas vezes por semana cada programa deve ir ao ar para maximizar o número de telespectadores, sujeito às restrições de tempo de música e de propaganda impostas. Informações fornecidas (peguei todos estes números do enunciado):
- O programa “A” tem
minutos de música e minuto de propaganda por exibição, e atrai telespectadores por exibição. - O programa “B” tem
minutos de música e minuto de propaganda por exibição, e atrai telespectadores por exibição. - Restrição do patrocinador: pelo menos
minutos de propaganda por semana (mínimo total de propaganda). - Restrição orçamentária: não há verba para mais de
minutos de música por semana (máximo total de música). - Pergunta explícita do enunciado: “Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o número máximo de telespectadores?”.
Nada mais foi fornecido (por exemplo, não foi dito que os números devem ser inteiros, mas naturalmente exibições são contagens inteiras — veremos como tratar isso).
Passo 2
Escolher as variáveis de decisão (isso é o começo da modelagem).
- Seja
o número de vezes por semana que o programa é levado ao ar. - Seja
o número de vezes por semana que o programa é levado ao ar.
Explicação didática: as variáveis
e
representam as escolhas que a rede pode controlar. Sempre declare a unidade (número de exibições por semana) para evitar confusão.
Passo 3
Construir a função objetivo (o que queremos maximizar).
- Cada exibição de
traz telespectadores, cada exibição de traz . - Logo a função objetivo (número total de telespectadores por semana) é a soma linear:
Explicação didática: em programação linear usamos funções lineares para o objetivo porque o ganho total é proporcional ao número de exibições (cada exibição contribui independentemente).
Passo 4
Traduzir as restrições do enunciado para desigualdades matemáticas.
- Restrição de música:
consome minutos de música por exibição e consome . O total não pode ultrapassar :
Podemos simplificar dividindo por
:
- Restrição de propaganda (mínimo): cada exibição de
e de tem minuto de propaganda; o patrocinador exige pelo menos minutos no total:
- Não-negatividade (e observação sobre integridade):
Observação didática sobre integridade: exibições são contagens inteiras, então, realisticamente, devemos acrescentar
inteiros. Porém, muitas vezes modela-se primeiro como relaxação contínua (programação linear) e, se a solução for inteira, ótimo; caso contrário, decide-se por um método inteiro. Neste caso veremos que a solução ótima é inteira.
Passo 5
Resumo do modelo matemático (colocar tudo junto como um problema de programação linear).
sujeito a
Explicação didática: esse é o modelo final. Cada inequação representa uma limitação do mundo real. Agora vamos resolver o problema (método gráfico / vértices): em programação linear com duas variáveis o ótimo ocorre em um vértice da região factível.
Passo 6
Encontrar os vértices (pontos candidatos) da região factível resolvendo interseções das retas que definem as fronteiras:
- Interseção entre as retas
e :
Subtraindo a segunda da primeira:dá . Substituindo em obtemos .
Assim um vértice é. - Interseção da reta
com o eixo : coloca-se em e obtém-se . Vértice . - Interseção da reta
com o eixo : coloca-se em e obtém-se . Vértice . - Checar outros candidatos: interseção de
com dá , mas isso NÃO satisfaz (pois ), então não é factível. Portanto os vértices factíveis relevantes são , e .
Passo 7
Avaliar a função objetivo
em cada vértice factível e comparar.
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Passo 8
Conclusão e interpretação didática:
- O maior valor de
entre os vértices é , que ocorre no ponto . - Interpretação prática: com a restrição de no máximo
minutos de música por semana, e exigindo ao menos minutos de propaganda, a melhor combinação para maximizar telespectadores é priorizar o programa porque ele gera mais telespectadores por minuto de música (verificação rápida: dá telespectadores por minuto de música, dá por minuto). - Observação sobre integridade: a solução encontrada é inteira e portanto realizável em termos de número de exibições.