Construir o modelo matemático de programação linear dos sistemas descritos a seguir:
Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa “A” com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 telespectadores, enquanto o programa " B ", com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso de no mínimo, 5 minutos para sua propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o número máximo de telespectadores? Construa o modelo do sistema.

Passo 1

O enunciado pede que se determine quantas vezes por semana cada programa deve ir ao ar para maximizar o número de telespectadores, sujeito às restrições de tempo de música e de propaganda impostas. Informações fornecidas (peguei todos estes números do enunciado):
  • O programa “A” tem 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda por exibição, e atrai 30\,000 telespectadores por exibição.
  • O programa “B” tem 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda por exibição, e atrai 10\,000 telespectadores por exibição.
  • Restrição do patrocinador: pelo menos 5 minutos de propaganda por semana (mínimo total de propaganda).
  • Restrição orçamentária: não há verba para mais de 80 minutos de música por semana (máximo total de música).
  • Pergunta explícita do enunciado: “Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o número máximo de telespectadores?”.
    Nada mais foi fornecido (por exemplo, não foi dito que os números devem ser inteiros, mas naturalmente exibições são contagens inteiras — veremos como tratar isso).

Passo 2

Escolher as variáveis de decisão (isso é o começo da modelagem).
  • Seja x o número de vezes por semana que o programa A é levado ao ar.
  • Seja y o número de vezes por semana que o programa B é levado ao ar.
Explicação didática: as variáveis x e y representam as escolhas que a rede pode controlar. Sempre declare a unidade (número de exibições por semana) para evitar confusão.

Passo 3

Construir a função objetivo (o que queremos maximizar).
  • Cada exibição de A traz 30\,000 telespectadores, cada exibição de B traz 10\,000.
  • Logo a função objetivo (número total de telespectadores por semana) é a soma linear:
\text{Maximizar}\quad Z = 30\,000\,x + 10\,000\,y.
Explicação didática: em programação linear usamos funções lineares para o objetivo porque o ganho total é proporcional ao número de exibições (cada exibição contribui independentemente).

Passo 4

Traduzir as restrições do enunciado para desigualdades matemáticas.
  1. Restrição de música: A consome 20 minutos de música por exibição e B consome 10. O total não pode ultrapassar 80:
20x + 10y \le 80.
Podemos simplificar dividindo por 10:
2x + y \le 8.
  1. Restrição de propaganda (mínimo): cada exibição de A e de B tem 1 minuto de propaganda; o patrocinador exige pelo menos 5 minutos no total:
x + y \ge 5.
  1. Não-negatividade (e observação sobre integridade):
x \ge 0,\qquad y \ge 0.
Observação didática sobre integridade: exibições são contagens inteiras, então, realisticamente, devemos acrescentar x,y inteiros. Porém, muitas vezes modela-se primeiro como relaxação contínua (programação linear) e, se a solução for inteira, ótimo; caso contrário, decide-se por um método inteiro. Neste caso veremos que a solução ótima é inteira.

Passo 5

Resumo do modelo matemático (colocar tudo junto como um problema de programação linear).
\text{Maximizar}\quad Z = 30\,000\,x + 10\,000\,y
sujeito a
2x + y \le 8,
x + y \ge 5,
x \ge 0,\quad y \ge 0.
Explicação didática: esse é o modelo final. Cada inequação representa uma limitação do mundo real. Agora vamos resolver o problema (método gráfico / vértices): em programação linear com duas variáveis o ótimo ocorre em um vértice da região factível.

Passo 6

Encontrar os vértices (pontos candidatos) da região factível resolvendo interseções das retas que definem as fronteiras:
  • Interseção entre as retas 2x + y = 8 e x + y = 5:
    Subtraindo a segunda da primeira: (2x+y)-(x+y)=8-5 x=3. Substituindo em x+y=5 obtemos y=2.
    Assim um vértice é (x,y)=(3,2).
  • Interseção da reta x+y=5 com o eixo x=0: coloca-se x=0 em x+y=5 e obtém-se y=5. Vértice (0,5).
  • Interseção da reta 2x+y=8 com o eixo x=0: coloca-se x=0 em 2x+y=8 e obtém-se y=8. Vértice (0,8).
  • Checar outros candidatos: interseção de 2x+y=8 com y=0 (4,0), mas isso NÃO satisfaz x+y\ge5 (pois 4+0<5), então (4,0) não é factível. Portanto os vértices factíveis relevantes são (0,5), (0,8) e (3,2).

Passo 7

Avaliar a função objetivo Z em cada vértice factível e comparar.
  • Em (0,5):
Z = 30\,000\cdot 0 + 10\,000\cdot 5 = 50\,000.
  • Em (0,8):
Z = 30\,000\cdot 0 + 10\,000\cdot 8 = 80\,000.
  • Em (3,2):
Z = 30\,000\cdot 3 + 10\,000\cdot 2 = 90\,000 + 20\,000 = 110\,000.

Passo 8

Conclusão e interpretação didática:
  • O maior valor de Z entre os vértices é 110\,000, que ocorre no ponto (x,y)=(3,2).
  • Interpretação prática: com a restrição de no máximo 80 minutos de música por semana, e exigindo ao menos 5 minutos de propaganda, a melhor combinação para maximizar telespectadores é priorizar o programa A porque ele gera mais telespectadores por minuto de música (verificação rápida: A 30\,000/20 = 1\,500 telespectadores por minuto de música, B 10\,000/10 = 1\,000 por minuto).
  • Observação sobre integridade: a solução encontrada é inteira e portanto realizável em termos de número de exibições.

Resposta

x=3 (exibições do programa A por semana)
y=2 (exibições do programa B por semana)