Uma construtora foi contratada para construir um muro no entorno de um terreno cuja área mede 4000 m². O terreno possui a forma de um trapézio retangular no qual a base maior e a altura medem, exatamente, o quádruplo da medida da base menor. Determine a medida do perímetro do terreno.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria! A gente tem um terreno com área de 4000 m² que tem a forma de um trapézio retangular. Sabemos que a base maior e a altura são 4 vezes a base menor. Para descobrir o perímetro desse terreno, vamos precisar lembrar das fórmulas de área e perímetro do trapézio.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar a base menor de $ b $. Então, a base maior será $ 4b $ e a altura também será $ 4b $, já que ambas são 4 vezes a base menor.
Passo 3
A área do trapézio é dada pela fórmula:
onde $ B $ é a base maior, $ b $ é a base menor e $ h $ é a altura. Sabemos que $ A = 4000 , m² $, $ B = 4b $ e $ h = 4b $. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 4
Simplificando a equação:
Agora, temos:
Dividindo ambos os lados por 10:
Tirando a raiz quadrada:
Passo 5
Agora que sabemos que $ b = 20 , m $, vamos encontrar $ B $ e $ h $:
Passo 6
Para encontrar o perímetro, precisamos somar todos os lados do trapézio. Como é um trapézio retangular, temos dois lados verticais iguais à altura $ h $, a base menor $ b $ e a base maior $ B $. Então, o perímetro $ P $ é:
Substituindo os valores:
Resposta
O perímetro do terreno é de 260 metros.