Um container de 10.000 kg é suspenso por um guindaste a uma velocidade de
quando repentinamente o motor de acionamento pára. Considere que o cabo de sustentação seja elástico com uma rigidez de
.
a) Determine a amplitude máxima do deslocamento vibratório do container a partir do instante em que o movimento do motor de acionamento é interrompido.
b) Construa o gráfico da aceleração vibratória em função do tempo e calcule seu valor máximo e o período de vibração do container.
a) Determine a amplitude máxima do deslocamento vibratório do container a partir do instante em que o movimento do motor de acionamento é interrompido.
b) Construa o gráfico da aceleração vibratória em função do tempo e calcule seu valor máximo e o período de vibração do container.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. Temos um container de 10.000 kg sendo levantado por um guindaste que tá se movendo a 1,0 m/s. De repente, o motor para, e o cabo que segura o container é elástico, com uma rigidez de 500 kN/m.
A gente precisa resolver duas partes:
a) Encontrar a amplitude máxima do deslocamento vibratório do container quando o motor para.
b) Fazer um gráfico da aceleração vibratória em função do tempo, além de calcular o valor máximo da aceleração e o período de vibração.
a) Encontrar a amplitude máxima do deslocamento vibratório do container quando o motor para.
b) Fazer um gráfico da aceleração vibratória em função do tempo, além de calcular o valor máximo da aceleração e o período de vibração.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica vibratória e Lei de Hooke para entender como o sistema vai se comportar quando o movimento é interrompido.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte a). Quando o motor para, o sistema passa a oscilar livremente. O comportamento desse tipo de oscilação pode ser descrito por um movimento harmônico simples (MHS).
A amplitude máxima do deslocamento vibratório pode ser encontrada usando a conservação da energia ou as condições iniciais do movimento. Vamos usar as condições iniciais para facilitar.
Passo 3
Quando o motor está funcionando, o container está se movendo com velocidade constante de 1,0 m/s. No instante que o motor para, a velocidade inicial do movimento relativo da massa em relação à posição de equilíbrio é 1,0 m/s.
No MHS, a amplitude $ A $ está relacionada com a velocidade inicial $ v_0 $ e a frequência angular $ \omega $ pela fórmula:
Então, para encontrar $ A $, precisamos primeiro encontrar $ \omega $.
Passo 4
A frequência angular $ \omega $ está relacionada com a rigidez da mola $ k $ e a massa $ m $ pelo seguinte:
Mas atenção: o cabo tem rigidez de 500 kN/m, que em unidades do SI é:
E a massa $ m $ é 10.000 kg.
Vamos calcular $ \omega $:
Passo 5
Agora que temos $ \omega $, vamos usar a relação $ v_0 = A \omega $ para encontrar a amplitude $ A $:
Resposta
A amplitude máxima do deslocamento vibratório do container é aproximadamente 0,141 metros.