O conteúdo de açúcar na calda de pêssegos em lata é normalmente distribuido. Suponha que a variância seja sigma 2=18 (miligramas)2. Uma amostra aleatória de n=10 latas conduz a um desvio-padrão amos- tral de s=4,8 miligramas. (3,0 pontos). ( 154|C9| S 4 mid PT )
a) Teste e hipótese H0: sigma^2=18 versus Hl: sigma^2 Rightarrow 18 usando alpha=0,05. É possivel rejeitar a hipótese H 0 ao nivel de signifi- cância de 0,05 ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma situação onde o conteúdo de açúcar na calda de pêssegos em lata segue uma distribuição normal, com uma variância conhecida de sigma² = 18² miligramas ao quadrado. Tiramos uma amostra de n = 10 latas e calculamos o desvio-padrão amostral, que foi s = 4,8 miligramas. A pergunta é: podemos rejeitar a hipótese nula ( H0) de que a variância é igual a 18 ao nível de significância de 5% ( alpha = 0,05)? Para resolver isso, vamos usar o teste qui-quadrado para variância.

Passo 2

Primeiro, vamos formular as hipóteses:
  • Hipótese nula ( H0): sigma² = 18²
  • Hipótese alternativa ( H1): sigma² > 18²
    (Parece que a seta no enunciado indica que estamos testando se a variância é maior que 18)

Passo 3

Como estamos testando a variância com uma amostra pequena ( n < 30) e a distribuição é normal, vamos usar a distribuição qui-quadrado ( chi²²). A fórmula para o teste é:
chi² = (n - 1)s²sigma0² ²²²
Onde:
  • n = tamanho da amostra = 10
  • ² = variância amostral = (4,8)^2 = 23,04
  • sigma0²² = variância sob H0 = 18

Passo 4

Vamos calcular o valor de chi²²:
chi² = (10 - 1) times 23,0418 = 9 times 23,0418 = 207,3618 = 11,52 ²

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor crítico da distribuição qui-quadrado para alpha = 0,05 e df = n - 1 = 9 graus de liberdade. Como nossa hipótese alternativa é sigma² > 18², o teste é unilateral à direita. Consultando uma tabela de qui-quadrado ou usando uma calculadora, encontramos que o valor crítico para chi²0,05,9 approx 16,919².

Passo 6

Comparamos o valor calculado de chi² = 11,52² com o valor crítico de 16,919:
  • Se chi² > 16,919², rejeitamos H0.
  • Se chi² <= 16,919², não rejeitamos H0.
No nosso caso, 11,52 < 16,919.

Resposta

Não, não é possível rejeitar a hipótese nula H0 ao nível de significância de 0,05.

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