Ar está contido dentro de uma arranjo pistão-cilindro. A área da seção transversal do pistão é 0,01 \mathrm{~m}^{2}. Inicialmente o pistão está em 1 bar e 25^{\circ} \mathrm{C} e 10 cm acima da base do cilindro. O sistema é então reversivelmente aquecido até 100^{\circ} \mathrm{C} produzindo um trabalho resultante de 166J. A capacidade calorífica a pressão constante do ar é dada por: \frac{C_{p}(T)}{R}=A+B T+D / T^{2}(A=3,355, B= 0,575 \cdot 10^{-3} e D=-0,016 \cdot 10^{5} ). Considerando que o ar apresenta comportamento de gás ideal, determine o calor transferido em Joule. Dado: R=8,314 \mathrm{~J} /(\mathrm{mol} \cdot \mathrm{K}).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Área da seção do pistão: \,A=0,01\\ \mathrm{m^{2}}\,.
  • Altura inicial do pistão: \,h_{1}=10\\ \mathrm{cm}=0,10\\ \mathrm{m}\,.
  • Pressão inicial: \,p_{1}=1\\ \mathrm{bar}=1{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}\,.
  • Temperatura inicial: \,T_{1}=25^{\circ}\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}\,.
  • Temperatura final: \,T_{2}=100^{\circ}\mathrm{C}=373{,}15\\ \mathrm{K}\,.
  • Trabalho produzido (realizado pelo sistema): \,W=166\\ \mathrm{J}\,.
  • Capacidade calorífica a pressão constante dada por \frac{C_{p}(T)}{R}=A+B\,T+\frac{D}{T^{2}},com \,A=3{,}355,\; B=0{,}575\times10^{-3},\; D=-0{,}016\times10^{5}\,.
  • Constante dos gases: \,R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}\,.
O que se pede:
  • Determinar o calor transferido para o ar durante o aquecimento, em joules.

Passo 2

Calcular o volume inicial e o número de mols do ar (sistema fechado).
  • Volume inicial:
    V_{1}=A\cdot h_{1}=0{,}01\\ \mathrm{m^{2}}\times0{,}10\\ \mathrm{m}=0{,}001\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Número de mols (lei dos gases ideais no estado inicial):
    n=\frac{p_{1}V_{1}}{R\,T_{1}}.
    Substituindo:
    n=\frac{1{,}0\times10^{5}\times0{,}001}{8{,}314\times298{,}15} =\frac{100}{8{,}314\cdot298{,}15}\approx0{,}04035\\ \text{mol}.
Observação: esse n vale para todo o processo (sistema fechado).

Passo 3

Usar a Primeira Lei da Termodinâmica e relacionar C_{p} e C_{v}.
  • Primeira Lei (sistema fechado):
    Q=\Delta U+W,
    onde Q é o calor transferido para o sistema, \Delta U é a variação de energia interna e W é o trabalho realizado pelo sistema (positivo se o sistema realiza trabalho).
  • Para gás ideal, a energia interna depende só da temperatura e
    \Delta U=n\int_{T_{1}}^{T_{2}} C_{v}(T)\,dT.
  • Relação entre capacidades:
    C_{p}(T)-C_{v}(T)=R \quad\Rightarrow\quad \frac{C_{v}(T)}{R}=\frac{C_{p}(T)}{R}-1.
  • Como \dfrac{C_{p}(T)}{R}=A+B T+\dfrac{D}{T^{2}}, segue
    \frac{C_{v}(T)}{R}=(A-1)+B T+\frac{D}{T^{2}}.

Passo 4

Calcular \Delta U integrando C_{v}(T).
  • Escrevendo a integral:
    \Delta U = n\int_{T_{1}}^{T_{2}} C_{v}(T)\,dT =nR\int_{T_{1}}^{T_{2}}\Big[(A-1)+B T+\frac{D}{T^{2}}\Big]dT.
  • Integrando termo a termo:
    \int_{T_{1}}^{T_{2}}(A-1)\,dT=(A-1)(T_{2}-T_{1}),
\int_{T_{1}}^{T_{2}}B T\,dT=\frac{B}{2}\big(T_{2}^{2}-T_{1}^{2}\big),
\int_{T_{1}}^{T_{2}}\frac{D}{T^{2}}\,dT=D\left(-\frac{1}{T}\right)\Big|_{T_{1}}^{T_{2}}=D\Big(\frac{1}{T_{1}}-\frac{1}{T_{2}}\Big).
  • Portanto: \Delta U = nR\Big[(A-1)(T_{2}-T_{1})+\frac{B}{2}\big(T_{2}^{2}-T_{1}^{2}\big)+D\Big(\frac{1}{T_{1}}-\frac{1}{T_{2}}\Big)\Big].

Passo 5

Substituir valores numéricos e calcular \Delta U.
  • Primeiro calcule constantes internas: A-1=3{,}355-1=2{,}355,
\frac{B}{2}=\frac{0{,}575\times10^{-3}}{2}=0{,}0002875,
D=-0{,}016\times10^{5}=-1600.
  • Diferenças de temperatura e quadrados: T_{2}-T_{1}=373{,}15-298{,}15=75\\ \mathrm{K},
T_{2}^{2}-T_{1}^{2}=373{,}15^{2}-298{,}15^{2}=50347{,}5\\ \mathrm{K^{2}}.
  • Diferença de inversos:
    \frac{1}{T_{1}}-\frac{1}{T_{2}}=\frac{1}{298{,}15}-\frac{1}{373{,}15}\approx0{,}00067508014\\ \mathrm{K^{-1}}.
  • Montando o colchete:
    (A-1)(T_{2}-T_{1})=2{,}355\times75=176{,}625,
\frac{B}{2}\big(T_{2}^{2}-T_{1}^{2}\big)=0{,}0002875\times50347{,}5\approx14{,}47490625,
D\Big(\frac{1}{T_{1}}-\frac{1}{T_{2}}\Big)=-1600\times0{,}00067508014\approx-1{,}08012822.
Soma do colchete:
\text{colchete}\approx176{,}625+14{,}47490625-1{,}08012822\approx190{,}01977803.
  • Lembrando que nR=\dfrac{p_{1}V_{1}}{T_{1}}=\dfrac{100}{298{,}15}\\ \mathrm{J/K}\approx0{,}3354890\\ \mathrm{J/K}.
  • Logo
    \Delta U = nR\times\text{colchete}\approx0{,}3354890\times190{,}01977803\approx63{,}7495\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Calcular o calor Q usando a Primeira Lei.
  • Aplicando Q=\Delta U+W:
    Q\approx63{,}7495\\ \mathrm{J}+166\\ \mathrm{J}=229{,}7495\\ \mathrm{J}.
  • Arredondando de forma razoável (duas casas decimais já são mais do que suficientes):
    Q\approx229{,}75\\ \mathrm{J}.

Resposta

Q=229,75\\ \mathrm{J}

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