Ar está contido dentro de um pneu de volume
, a
e pressão monométrica de
. Determine a quantidade de ar que deve ser colocada dentro de um pneu para que a pressão alcance o valor de
, também monométrica. Considere a pressão atmosférica igual a
e que a temperatura e o volume permaneçam constante.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Volume do pneu:
. - Temperatura:
(mantida constante). - Pressão atmosférica:
(ou ). - Pressão monométrica inicial (pressão gauge):
. - Pressão monométrica final desejada:
. - Constante específica do ar:
. - Temperatura e volume permanecem constantes (isoterma e
fixo).
O que o problema pede:
- Determinar a massa de ar que deve ser acrescentada ao pneu para que a pressão monométrica aumente de
para , mantendo e constantes. Ou seja, calcular .
Passo 2
Explicação conceitual e fórmula que vamos usar.
- A pressão monométrica (gauge) é a pressão acima da atmosférica. Para usar a equação dos gases ideais precisamos da pressão absoluta. A relação é:
- A equação dos gases ideais (aplicável aqui porque o exercício pede isso) é
onde:
-
é a pressão absoluta do gás (em ), -
é o volume ocupado pelo gás (em ), -
é a massa de gás (em ), -
é a constante específica do gás ( ), -
é a temperatura absoluta (em ).
Como
e
são constantes, a massa é proporcional à pressão absoluta:
Logo a massa adicional necessária é
onde
e
são as pressões absolutas inicial e final.
Passo 3
Converteções e cálculo das pressões absolutas e da temperatura em unidades SI.
- Temperatura:
. - Pressão absoluta inicial:
- Pressão absoluta final:
Passo 4
Aplicar a fórmula para
e substituir os valores.
A fórmula:
Substituindo os números (sempre em SI: pressões em
,
em
,
em
,
em
):
Portanto
Passo 5
Cálculo numérico passo a passo (sem pular etapas).
- Numerador:
- Denominador:
- Dividindo:
Arredondando de forma prática para três algarismos significativos:
Passo 6
Interpretação final e verificação rápida.
- Em palavras: era preciso acrescentar aproximadamente
de ar (cerca de ) ao pneu para que a pressão monométrica subisse de para , mantendo volume e temperatura constantes. - Cheque rápido pela proporcionalidade: a pressão absoluta aumentou de
para , um aumento relativo de (ou ). Assim a massa final é maior que a inicial; se a massa inicial fosse cerca de (que é ), um acréscimo de faz sentido.