Ar está contido dentro de um pneu de volume 0,70 \mathrm{~m}^{3}, a 30^{\circ} \mathrm{C} e pressão monométrica de 150 k P_{a}. Determine a quantidade de ar que deve ser colocada dentro de um pneu para que a pressão alcance o valor de 200 k P_{a}, também monométrica. Considere a pressão atmosférica igual a 100 k P_{a} e que a temperatura e o volume permaneçam constante.
P_{a t m}=100 \cdot 10^{3} P_{a} \quad A_{r} \rightarrow R=0,2870 \cdot \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{~K}=287 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{~K}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Volume do pneu: V=0{,}70\\ \mathrm{m}^3.
  • Temperatura: T=30^\circ\mathrm{C} (mantida constante).
  • Pressão atmosférica: P_{\text{atm}}=100\cdot10^{3}\\ \mathrm{Pa} (ou 100\\ \mathrm{kPa}).
  • Pressão monométrica inicial (pressão gauge): p_{g1}=150\\ \mathrm{kPa}.
  • Pressão monométrica final desejada: p_{g2}=200\\ \mathrm{kPa}.
  • Constante específica do ar: R=287\\ \mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\mathrm{K}^{-1}.
  • Temperatura e volume permanecem constantes (isoterma e V fixo).
O que o problema pede:
  • Determinar a massa de ar que deve ser acrescentada ao pneu para que a pressão monométrica aumente de 150\\ \mathrm{kPa} para 200\\ \mathrm{kPa}, mantendo T e V constantes. Ou seja, calcular \Delta m = m_2-m_1.

Passo 2

Explicação conceitual e fórmula que vamos usar.
  • A pressão monométrica (gauge) é a pressão acima da atmosférica. Para usar a equação dos gases ideais precisamos da pressão absoluta. A relação é:
P_{\text{abs}} = P_{\text{atm}} + p_{\text{gauge}}.
  • A equação dos gases ideais (aplicável aqui porque o exercício pede isso) é
P V = m R T,
onde:
  • P é a pressão absoluta do gás (em \mathrm{Pa}),
  • V é o volume ocupado pelo gás (em \mathrm{m}^3),
  • m é a massa de gás (em \mathrm{kg}),
  • R é a constante específica do gás ( \mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\mathrm{K}^{-1}),
  • T é a temperatura absoluta (em \mathrm{K}).
Como V e T são constantes, a massa é proporcional à pressão absoluta:
m=\frac{P V}{R T}.
Logo a massa adicional necessária é
\Delta m = m_2-m_1=\frac{(P_2-P_1)\,V}{R T},
onde P_1 e P_2 são as pressões absolutas inicial e final.

Passo 3

Converteções e cálculo das pressões absolutas e da temperatura em unidades SI.
  • Temperatura: T=30^\circ\mathrm{C}=30+273{,}15=303{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão absoluta inicial:
P_1 = P_{\text{atm}} + p_{g1} = 100\cdot10^{3}\\ \mathrm{Pa} + 150\cdot10^{3}\\ \mathrm{Pa} = 250\cdot10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
  • Pressão absoluta final:
P_2 = P_{\text{atm}} + p_{g2} = 100\cdot10^{3}\\ \mathrm{Pa} + 200\cdot10^{3}\\ \mathrm{Pa} = 300\cdot10^{3}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Aplicar a fórmula para \Delta m e substituir os valores.
A fórmula:
\Delta m=\frac{(P_2-P_1)\,V}{R T}.
Substituindo os números (sempre em SI: pressões em \mathrm{Pa}, V em \mathrm{m}^3, R em \mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\mathrm{K}^{-1}, T em \mathrm{K}):
P_2-P_1=(300\cdot10^{3}-250\cdot10^{3})\\ \mathrm{Pa}=50\cdot10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
Portanto
\Delta m=\frac{50\cdot10^{3}\times 0{,}70}{287\times 303{,}15}\\ \mathrm{kg}.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo (sem pular etapas).
  • Numerador:
50\cdot10^{3}\times 0{,}70 = 35{,}000\\ \text{(unidade: Pa}\cdot\mathrm{m}^3 = \mathrm{J}) .
  • Denominador:
287\times 303{,}15 = 87{,}004{,}05\\ \text{(unidade: J}\,\mathrm{kg}^{-1}) .
  • Dividindo:
\Delta m=\frac{35{,}000}{87{,}004{,}05}\\ \mathrm{kg}\approx 0{,}40229\\ \mathrm{kg}.
Arredondando de forma prática para três algarismos significativos:
\Delta m \approx 0{,}402\\ \mathrm{kg}.

Passo 6

Interpretação final e verificação rápida.
  • Em palavras: era preciso acrescentar aproximadamente 0{,}402\\ \mathrm{kg} de ar (cerca de 402\\ \mathrm{g}) ao pneu para que a pressão monométrica subisse de 150\\ \mathrm{kPa} para 200\\ \mathrm{kPa}, mantendo volume e temperatura constantes.
  • Cheque rápido pela proporcionalidade: a pressão absoluta aumentou de 250\\ \mathrm{kPa} para 300\\ \mathrm{kPa}, um aumento relativo de 300/250=1{,}2 (ou 20\%). Assim a massa final é 20\% maior que a inicial; se a massa inicial fosse cerca de 2{,}01\\ \mathrm{kg} (que é P_1V/(RT)), um acréscimo de 0{,}40\\ \mathrm{kg} faz sentido.

Resposta

\Delta m \approx 0{,}402\\ \mathrm{kg}

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