Continuidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente vai trabalhar com continuidade de funções, que é um tópico de cálculo. Para resolver, vamos precisar saber como verificar se uma função é contínua em determinado ponto, ou seja, se não tem “quebras”, buracos ou saltos no gráfico da função naquele ponto.

Passo 2

Vamos supor que a função dada seja . Queremos saber se essa função é contínua em .

Passo 3

Primeiro, vamos tentar calcular o valor de . Substituindo:
Esse é um caso indeterminado, então não conseguimos determinar a continuidade diretamente.

Passo 4

Quando encontramos uma forma indeterminada como , podemos simplificar a função para ver se conseguimos “cancelar” o problema. Vamos fatorar o numerador:
Então, a função fica:

Passo 5

Agora, podemos cancelar o termo no numerador e denominador, desde que :

Passo 6

Agora que simplificamos, podemos ver que para , a função é basicamente uma linha reta , que é contínua em todos os pontos. Mas precisamos verificar a continuidade em .

Passo 7

Para a função ser contínua em , o limite quando se aproxima de 2 deve ser igual ao valor da função em 2. Já vimos que inicialmente dá uma indeterminação, mas após simplificar:

Passo 8

Agora, podemos redefinir a função em como 4 para que ela seja contínua nesse ponto.

Resposta

A função é contínua em se definirmos .

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