Continuidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente vai trabalhar com continuidade de funções, que é um tópico de cálculo. Para resolver, vamos precisar saber como verificar se uma função é contínua em determinado ponto, ou seja, se não tem “quebras”, buracos ou saltos no gráfico da função naquele ponto.
Passo 2
Vamos supor que a função dada seja
. Queremos saber se essa função é contínua em
.
Passo 3
Primeiro, vamos tentar calcular o valor de
. Substituindo:
Esse é um caso indeterminado, então não conseguimos determinar a continuidade diretamente.
Passo 4
Quando encontramos uma forma indeterminada como
, podemos simplificar a função para ver se conseguimos “cancelar” o problema. Vamos fatorar o numerador:
Então, a função fica:
Passo 5
Agora, podemos cancelar o termo
no numerador e denominador, desde que
:
Passo 6
Agora que simplificamos, podemos ver que para
, a função é basicamente uma linha reta
, que é contínua em todos os pontos. Mas precisamos verificar a continuidade em
.
Passo 7
Para a função ser contínua em
, o limite quando
se aproxima de 2 deve ser igual ao valor da função em 2. Já vimos que
inicialmente dá uma indeterminação, mas após simplificar:
Passo 8
Agora, podemos redefinir a função
em
como 4 para que ela seja contínua nesse ponto.
Resposta
A função
é contínua em
se definirmos
.