Um conversor CC-CC de modo comutado está operando em uma frequência de comutação de 20 kHz e V_{\mathrm{d}}=150 \mathrm{~V}. No circuito elétrico equivalente do motor \mathrm{CC}, E_{\mathrm{a}}=100 \mathrm{~V}, R_{\mathrm{a}}=250 \mathrm{~m} \Omega e L_{\mathrm{a}}=4 \mathrm{mH}. A corrente elétrica média que está sendo consumida pelo motor CC é de 8,0 \mathrm{~A}. Calcula \bar{i}_{\mathrm{d} a}(t), \bar{i}_{\mathrm{d} b}(t), e \bar{i}_{\mathrm{d}}(t) e trace as respectivas formas de onda.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as quantidades indicadas.
Dados fornecidos:
V_{\mathrm{d}}=150\\ \mathrm{V}
E_{\mathrm{a}}=100\\ \mathrm{V}
R_{\mathrm{a}}=250\\ \mathrm{m}\Omega = 0,25\\ \Omega
L_{\mathrm{a}}=4\\ \mathrm{mH} = 4,0\times 10^{-3}\\ \mathrm{H}
f_{\mathrm{sw}}=20\\ \mathrm{kHz}
\bar{I} = 8,0\\ \mathrm{A}\quad\text{(corrente média consumida pelo motor)}é
O que o enunciado pede:
  • Calcular \bar{i}_{\mathrm{d}a}(t).
  • Calcular \bar{i}_{\mathrm{d}b}(t).
  • Calcular \bar{i}_{\mathrm{d}}(t).
  • Traçar (descrever) as formas de onda correspondentes.
Observações úteis que já ficam claras pelos dados:
  • A frequência de comutação é alta ( 20\\ \mathrm{kHz}), então a corrente no indutor do motor terá pequena ondulação em torno da média.
  • Suporemos operação em regime estacionário (média da corrente constante no tempo) e condução contínua.

Passo 2

Entender a ligação entre tensão de entrada, tensão média aplicada ao motor e o ciclo de trabalho ( D) do conversor.
Teoria (aula rápida e prática): em um conversor CC-CC por chaveamento que aplica alternadamente V_{\mathrm{d}} e 0 ao motor (ex.: chopper no modo direto), a tensão média aplicada ao motor na escala lenta (média sobre um período de comutação) é
\overline{v_{\mathrm{a}}} = D\;V_{\mathrm{d}},
onde D é o ciclo de trabalho (fração do período em que a chave aplica V_{\mathrm{d}}). Em regime estacionário e com média da derivada da corrente nula, a tensão média no indutor/motor equilibra-se com a soma da força contraeletromotriz e a queda resistiva média:
\overline{v_{\mathrm{a}}} = E_{\mathrm{a}} + R_{\mathrm{a}}\;\bar{I}.
Portanto, podemos encontrar D usando
D\;V_{\mathrm{d}} = E_{\mathrm{a}} + R_{\mathrm{a}}\;\bar{I}.
Explicando as variáveis:
  • D é adimensional (0 a 1), fração do tempo em que a chave está ligada.
  • V_{\mathrm{d}} é a tensão de alimentação.
  • E_{\mathrm{a}} é a fem (back-EMF) do motor.
  • R_{\mathrm{a}} é a resistência do enrolamento.
  • \bar{I} é a corrente média do motor (dada).

Passo 3

Calcular numericamente o ciclo de trabalho D.
Usando a fórmula do passo anterior:
D = \frac{E_{\mathrm{a}} + R_{\mathrm{a}}\;\bar{I}}{V_{\mathrm{d}}}.
Substituindo os valores (atenção à vírgula decimal):
R_{\mathrm{a}}\;\bar{I} = 0,25\cdot 8,0 = 2,0\\ \mathrm{V}.
E_{\mathrm{a}} + R_{\mathrm{a}}\;\bar{I} = 100 + 2,0 = 102\\ \mathrm{V}.
D = \frac{102}{150} = 0,68.
Interpretação: a chave aplica V_{\mathrm{d}} ao motor 68\% do período de comutação e aplica a condição complementar (por exemplo 0 V ou freewheeling) durante 32\% do período.

Passo 4

Descrever as correntes instantâneas em cada ramo de chaveamento e o significado de \bar{i}_{\mathrm{d}a}(t), \bar{i}_{\mathrm{d}b}(t) e \bar{i}_{\mathrm{d}}(t).
Modelo físico e suposições:
  • Imagine duas “funções de chave” complementares: quando a chave a está ligada (por tempo D\cdot T_s) o motor recebe V_{\mathrm{d}} e a corrente do motor flui através do ramo a. Quando a chave a está desligada (tempo (1-D)T_s) o motor está em freewheel/retorno e a corrente não é fornecida pelo ramo a, mas pode passar por b (ou por diodo). Em muitos esquemas, os ramos a e b são complementares e a corrente instantânea do motor aparece completamente em um ramo ou no outro.
  • A corrente do motor tem pequena ondulação (devida ao indutor L_{\mathrm{a}}), logo a corrente instantânea pode ser aproximada como uma corrente quase constante \bar{I}=8,0\\ \mathrm{A} com uma pequena componente triangular.
Assim, as correntes instantâneas (ideais por chaveamento) são:
  • i_{\mathrm{d}a}(t) = \bar{I} durante o intervalo em que a chave a está ON; = 0 durante OFF.
  • i_{\mathrm{d}b}(t) = \bar{I} durante o intervalo complementar (quando a está OFF); = 0 quando a está ON.
  • A corrente total do lado de entrada/saída em média é sempre a corrente do motor: i_{\mathrm{d}}(t)=i_{\mathrm{d}a}(t)+i_{\mathrm{d}b}(t). Em cada instante apenas um dos ramos carreia a corrente (no modelo ideal de comutação complementar), portanto a soma instantânea é \bar{I} (ignorando sinais de retorno).

Passo 5

Calcular as correntes médias sobre um período de comutação para cada ramo.
Definição e teoria rápida: a corrente média sobre um período de chaveamento T_s de um sinal que vale \bar{I} por fração D do tempo e 0 pelo restante tem valor médio D\bar{I}. Portanto:
\bar{i}_{\mathrm{d}a}(t)\\ \text{(média por período)} = D\;\bar{I}.éí
\bar{i}_{\mathrm{d}b}(t)\\ \text{(média por período)} = (1-D)\;\bar{I}.éí
\bar{i}_{\mathrm{d}}(t) = \bar{i}_{\mathrm{d}a}(t)+\bar{i}_{\mathrm{d}b}(t) = D\bar{I} + (1-D)\bar{I} = \bar{I}.
Isso é intuitivo: cada ramo carrega uma fração do tempo a corrente média proporcional ao seu duty.

Passo 6

Substituir numericamente e obter os valores finais.
Usando D=0,68 e \bar{I}=8,0\\ \mathrm{A}:
\bar{i}_{\mathrm{d}a}(t) = D\bar{I} = 0,68\cdot 8,0 = 5,44\\ \mathrm{A}.
\bar{i}_{\mathrm{d}b}(t) = (1-D)\bar{I} = 0,32\cdot 8,0 = 2,56\\ \mathrm{A}.
\bar{i}_{\mathrm{d}}(t) = \bar{I} = 8,0\\ \mathrm{A}.

Passo 7

Verificar a suposição de pequena ondulação (ajuda a justificar as formas de onda desenhadas) — cálculo rápido da ondulação de corrente no indutor.
Teoria / fórmula: a variação de corrente durante o intervalo ON (quando a tensão no indutor é V_{\mathrm{d}}-E_{\mathrm{a}}-R_{\mathrm{a}}\bar{I}) é aproximadamente
\Delta i_{\mathrm{ON}} \approx \frac{V_{\mathrm{d}} - E_{\mathrm{a}} - R_{\mathrm{a}}\bar{I}}{L_{\mathrm{a}}}\;D\;T_s,
onde T_s = 1/f_{\mathrm{sw}}. Em regime estacionário a queda total em ON e OFF se compensa, então o pico-a-pico é |\Delta i| = \Delta i_{\mathrm{ON}} - \Delta i_{\mathrm{OFF}} = 2\Delta i_{\mathrm{ON}} no sentido de magnitude positiva/negativa, mas como as tensões são diferentes a conta correta é calcular ON e OFF e confirmar que somam zero em média; para estimativa de pico-a-pico basta calcular o módulo.
Cálculo numérico:
T_s = \frac{1}{20\\\ 000} = 5,0\times 10^{-5}\\ \mathrm{s}.
Tensão no indutor durante ON:
V_{\mathrm{L,ON}} = V_{\mathrm{d}} - E_{\mathrm{a}} - R_{\mathrm{a}}\bar{I} = 150 - 100 - 2,0 = 48\\ \mathrm{V}.
Duração ON:
D T_s = 0,68\cdot 5,0\times 10^{-5} = 3,4\times 10^{-5}\\ \mathrm{s}.
Logo
\Delta i_{\mathrm{ON}} \approx \frac{48}{4,0\times 10^{-3}}\cdot 3,4\times 10^{-5} = 12\;000\cdot 3,4\times 10^{-5}=0,408\\ \mathrm{A}.
Durante OFF a variação oposta tem magnitude idêntica (cálculo: tensão OFF -102\\ \mathrm{V} sobre intervalo 1-D -0,408\\ \mathrm{A}), então pico-a-pico:
\Delta i_{pp}\approx 0,408\\ \mathrm{A}.
Interpretação: a ondulação pico-a-pico é pequena frente a 8,0\\ \mathrm{A} (aprox. 5\%), portanto aproximar a corrente como quase constante para desenhar as formas de onda é adequado.

Passo 8

Desenho / descrição das formas de onda (explicação prática para você poder esboçar na prova).
Forma de onda de i_{\mathrm{d}a}(t) (instantânea):
  • É um trem de pulsos retangulares amplitude aproximadamente \bar{I}=8,0\\ \mathrm{A}.
  • Cada período T_s: durante D T_s o pulso vale \approx 8,0\\ \mathrm{A}; durante (1-D)T_s vale 0.
  • Sobrepostos aos pulsos haverá pequena ondulação triangular de pico-a-pico \approx 0,408\\ \mathrm{A}, ou seja, dentro do pulso a corrente sobe levemente e depois desce no off.
Forma de onda de i_{\mathrm{d}b}(t) (instantânea):
  • Complementar de i_{\mathrm{d}a}(t): durante o tempo em que i_{\mathrm{d}a} é zero, i_{\mathrm{d}b} vale \approx 8,0\\ \mathrm{A}, e durante o tempo em que i_{\mathrm{d}a} é 8,0\\ \mathrm{A}, i_{\mathrm{d}b}=0.
  • Também apresenta a mesma pequena ondulação triangular, invertida temporalmente.
Forma de onda de i_{\mathrm{d}}(t) (instantânea):
  • Soma instantânea: i_{\mathrm{d}}(t)=i_{\mathrm{d}a}(t)+i_{\mathrm{d}b}(t).
  • Num modelo ideal complementar e sem correntes de fuga, a soma instantânea é sempre a corrente do motor \approx 8,0\\ \mathrm{A} com a pequena ondulação triangular de pico-a-pico \approx 0,408\\ \mathrm{A}.
  • Em um esboço: desenhar uma linha quase reta em 8,0\\ \mathrm{A} com uma pequena ondulação triangular periódica; para i_{\mathrm{d}a} e i_{\mathrm{d}b} desenhar retângulos de altura 8,0\\ \mathrm{A} com durações D T_s e (1-D)T_s respectivamente.
Dica para a prova: marque o eixo do tempo com um período T_s=50\\ \mu\mathrm{s}. Desenhe um retângulo de duração 34\\ \mu\mathrm{s} (68% de 50\\ \mu\mathrm{s}) com altura 8,0\\ \mathrm{A} para i_{\mathrm{d}a}; o restante 16\\ \mu\mathrm{s} é zero. Para i_{\mathrm{d}b} faça o contrário.

Resposta

\bar{i}_{\mathrm{d}a}(t)=5,44\\ \mathrm{A}
\bar{i}_{\mathrm{d}b}(t)=2,56\\ \mathrm{A}
\bar{i}_{\mathrm{d}}(t)=8,0\\ \mathrm{A}

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