Converta a equação diferencial para o processo de primeira ordem, dada a seguir, na forma de variável desvio e determine a função de transferência para o processo.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
As perguntas são duas: (1) escrever essa equação na forma de variável desvio (ou variável de perturbação) e (2) determinar a função de transferência do processo. As informações relevantes do enunciado são: a variável de saída
, a variável de entrada
e a constante de tempo positiva
. A equação é linear e não depende explicitamente do tempo.
Passo 2
Vou explicar o que é “variável desvio” de um jeito tranquilo: escolhemos um ponto de operação (equilíbrio)
em que o sistema está em regime permanente; então definimos as variações (ou desvios) em torno desse ponto como
A ideia é estudar como pequenas mudanças na entrada (
) causam mudanças na saída (
). Isso é útil porque em controle usamos funções de transferência que relacionam variações (assumindo linearidade).
Passo 3
Primeiro encontramos o ponto de equilíbrio. Em regime permanente a derivada é zero, então substituímos
na equação:
Dessa igualdade segue que
Ou seja, no ponto de operação a saída iguala a entrada (isso já é intuitivo para esse modelo simples).
Passo 4
Agora escrevemos
e
e substituímos na equação original. Começo substituindo dentro do lado direito:
Mas usamos do Passo 3 que
, então fica simplesmente
Passo 5
Substituindo no lado esquerdo a derivada de
em termos de
(a derivada de
é zero porque é constante), obtemos
Reorganizando os termos para evidenciar a dinâmica de
,
Pronto — essa é a equação na forma de variável desvio. Interpretação:
decai com taxa
e é forçado pela entrada
com ganho
.
Passo 6
Agora vamos achar a função de transferência. A função de transferência relaciona a transformada de Laplace da saída com a da entrada, assumindo condições iniciais nulas para as variáveis de desvio. Aplicamos a transformada de Laplace à equação do Passo 5 e assumimos
(condição padrão para obter a função de transferência):
Aplicando ao lado direito obtemos
Passo 7
Agora isolamos
sobre
para obter a função de transferência
. Reescrevendo a equação do Passo 6:
Fatorando
,
Dividindo por
e pelo parêntese, obtemos
Podemos também escrever de forma equivalente
Passo 8
Interpretação rápida e dica para prova: a função de transferência
é a clássica de um sistema de primeira ordem com ganho DC igual a
(ou seja, resposta em regime permanente igual à mudança de entrada) e constante de tempo
. Isso significa que respostas a degrau têm forma exponencial e atingem cerca de
do valor final em tempo
. Se precisar, na prova você pode mostrar passo a passo como passar da equação no tempo para a função de transferência exatamente como fiz aqui — comece encontrando o ponto de operação, defina as variações, derive a ODE de desvios e aplique Laplace com condições iniciais nulas.