Converta a equação diferencial para o processo de primeira ordem, dada a seguir, na forma de variável desvio e determine a função de transferência para o processo.
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}=\frac{1}{\tau}(u-y)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{\tau}\,(u-y).
As perguntas são duas: (1) escrever essa equação na forma de variável desvio (ou variável de perturbação) e (2) determinar a função de transferência do processo. As informações relevantes do enunciado são: a variável de saída y(t), a variável de entrada u(t) e a constante de tempo positiva \tau. A equação é linear e não depende explicitamente do tempo.

Passo 2

Vou explicar o que é “variável desvio” de um jeito tranquilo: escolhemos um ponto de operação (equilíbrio) \bar{u},\bar{y} em que o sistema está em regime permanente; então definimos as variações (ou desvios) em torno desse ponto como
\tilde{u}(t)=u(t)-\bar{u},\qquad \tilde{y}(t)=y(t)-\bar{y}.
A ideia é estudar como pequenas mudanças na entrada ( \tilde{u}) causam mudanças na saída ( \tilde{y}). Isso é útil porque em controle usamos funções de transferência que relacionam variações (assumindo linearidade).

Passo 3

Primeiro encontramos o ponto de equilíbrio. Em regime permanente a derivada é zero, então substituímos \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=0 na equação:
0=\frac{1}{\tau}\,(\bar{u}-\bar{y}).
Dessa igualdade segue que
\bar{y}=\bar{u}.
Ou seja, no ponto de operação a saída iguala a entrada (isso já é intuitivo para esse modelo simples).

Passo 4

Agora escrevemos y(t)=\bar{y}+\tilde{y}(t) e u(t)=\bar{u}+\tilde{u}(t) e substituímos na equação original. Começo substituindo dentro do lado direito:
u-y=(\bar{u}+\tilde{u})-(\bar{y}+\tilde{y})=(\bar{u}-\bar{y})+(\tilde{u}-\tilde{y}).
Mas usamos do Passo 3 que \bar{u}-\bar{y}=0, então fica simplesmente
u-y=\tilde{u}-\tilde{y}.

Passo 5

Substituindo no lado esquerdo a derivada de y em termos de \tilde{y} (a derivada de \bar{y} é zero porque é constante), obtemos
\frac{\mathrm{d}\tilde{y}}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{\tau}\,(\tilde{u}-\tilde{y}).
Reorganizando os termos para evidenciar a dinâmica de \tilde{y},
\frac{\mathrm{d}\tilde{y}}{\mathrm{d}t}=-\frac{1}{\tau}\,\tilde{y}+\frac{1}{\tau}\,\tilde{u}.
Pronto — essa é a equação na forma de variável desvio. Interpretação: \tilde{y} decai com taxa 1/\tau e é forçado pela entrada \tilde{u} com ganho 1/\tau.

Passo 6

Agora vamos achar a função de transferência. A função de transferência relaciona a transformada de Laplace da saída com a da entrada, assumindo condições iniciais nulas para as variáveis de desvio. Aplicamos a transformada de Laplace à equação do Passo 5 e assumimos \tilde{y}(0^-)=0 (condição padrão para obter a função de transferência):
\mathcal{L}\left\{\frac{\mathrm{d}\tilde{y}}{\mathrm{d}t}\right\}=s\tilde{Y}(s)-\tilde{y}(0^-)=s\tilde{Y}(s).
Aplicando ao lado direito obtemos
s\tilde{Y}(s)=-\frac{1}{\tau}\,\tilde{Y}(s)+\frac{1}{\tau}\,\tilde{U}(s).

Passo 7

Agora isolamos \tilde{Y}(s) sobre \tilde{U}(s) para obter a função de transferência G(s)=\dfrac{\tilde{Y}(s)}{\tilde{U}(s)}. Reescrevendo a equação do Passo 6:
s\tilde{Y}(s)+\frac{1}{\tau}\,\tilde{Y}(s)=\frac{1}{\tau}\,\tilde{U}(s).
Fatorando \tilde{Y}(s),
\left(s+\frac{1}{\tau}\right)\tilde{Y}(s)=\frac{1}{\tau}\,\tilde{U}(s).
Dividindo por \tilde{U}(s) e pelo parêntese, obtemos
G(s)=\frac{\tilde{Y}(s)}{\tilde{U}(s)}=\frac{1/\tau}{s+1/\tau}.
Podemos também escrever de forma equivalente
G(s)=\frac{1}{\tau s+1}.

Passo 8

Interpretação rápida e dica para prova: a função de transferência G(s)=\dfrac{1}{\tau s+1} é a clássica de um sistema de primeira ordem com ganho DC igual a 1 (ou seja, resposta em regime permanente igual à mudança de entrada) e constante de tempo \tau. Isso significa que respostas a degrau têm forma exponencial e atingem cerca de 63{,}2\% do valor final em tempo \tau. Se precisar, na prova você pode mostrar passo a passo como passar da equação no tempo para a função de transferência exatamente como fiz aqui — comece encontrando o ponto de operação, defina as variações, derive a ODE de desvios e aplique Laplace com condições iniciais nulas.

Resposta

\displaystyle \frac{\mathrm{d}\tilde{y}}{\mathrm{d}t}=-\frac{1}{\tau}\,\tilde{y}+\frac{1}{\tau}\,\tilde{u}\n \displaystyle G(s)=\frac{\tilde{Y}(s)}{\tilde{U}(s)}=\frac{1/\tau}{s+1/\tau}=\frac{1}{\tau s+1}

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