Converta i=-10 \operatorname{sen}\left(3 t-5^{\circ}\right) para forma co-seno

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dado: i = -10 \operatorname{sen}\!\left(3t - 5^\circ\right).
  • Pedido: escrever a mesma função na forma cosseno, isto é, uma expressão do tipo i = A \cos\!\left(3t + \varphi\right) (mesma frequência 3, amplitude A e fase \varphi que representem a mesma onda).
    Vou trabalhar passo a passo para transformar a função usando identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Identidades trigonométricas que vou usar (explicadas de forma simples):
  • A relação entre seno e cosseno por deslocamento de fase é
\sin\theta=\cos\!\left(\theta-90^\circ\right).
Explicação rápida: aplicar a fórmula do cosseno de diferença:
\cos\!\left(\theta-90^\circ\right)=\cos\theta\cos90^\circ+\sin\theta\sin90^\circ=0+\sin\theta=\sin\theta.
  • Consequentemente, multiplicando por -1,
-\sin\theta=\cos\!\left(\theta+90^\circ\right).
Explicação rápida: usar a fórmula do cosseno da soma:
\cos\!\left(\theta+90^\circ\right)=\cos\theta\cos90^\circ-\sin\theta\sin90^\circ=0-\sin\theta=-\sin\theta.
Essas duas fórmulas são equivalentes e servem para passar de seno para cosseno introduzindo um deslocamento de \pm90^\circ. No exame, decorar qualquer uma delas já resolve a conversão.

Passo 3

Aplicando à expressão dada. Defina \theta=3t-5^\circ. Usando a identidade -\sin\theta=\cos(\theta+90^\circ) temos:
i=-10\sin\!\left(3t-5^\circ\right)=-10\sin\theta= -10\cdot\sin\theta.
Substituindo -\sin\theta por \cos(\theta+90^\circ):
-10\sin\theta = 10\cos\!\left(\theta+90^\circ\right).
Agora volte \theta=3t-5^\circ:
\theta+90^\circ=(3t-5^\circ)+90^\circ=3t+85^\circ.
Portanto
i = 10\cos\!\left(3t+85^\circ\right).

Passo 4

Verificação rápida (controle de sanidade): para t=0,
i(0)_{\text{orig}}=-10\sin(-5^\circ)=-10\cdot(-\sin5^\circ)=10\sin5^\circ,
e
i(0)_{\text{novo}}=10\cos85^\circ=10\sin5^\circ,
porque \cos85^\circ=\sin5^\circ. Valores coincidem, então a conversão faz sentido numericamente.

Resposta

i=10\cos\!\left(3t+85^\circ\right)

Exercícios relacionados