Expresse v=8 \cos \left(7 t+15^{\circ}\right) na forma de seno.

Passo 1

O enunciado dá a função de tempo
v=8 \cos\left(7 t+15^\circ\right)
e pede para escrevê-la na forma de seno.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Amplitude: 8.
  • Argumento da função trigonométrica: 7 t+15^\circ.
  • Objetivo: representar a mesma onda usando a função seno, sem mudar amplitude nem frequência.

Passo 2

Identidade trigonométrica útil (e fácil de decorar): \cos\theta pode ser escrito como seno deslocado em 90^\circ. Vamos deduzir essa identidade rapidinho usando a fórmula de soma para seno:
\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b.
Escolhendo a=\theta e b=90^\circ e lembrando que \cos 90^\circ=0 e \sin 90^\circ=1, obtemos
\sin(\theta+90^\circ)=\sin\theta\cdot 0+\cos\theta\cdot 1=\cos\theta.
Portanto a identidade é
\cos\theta=\sin(\theta+90^\circ).
Explicação didática: adicionar 90^\circ (ou \tfrac{\pi}{2} rad) a um ângulo “troca” seno por cosseno — é um deslocamento de fase.

Passo 3

Agora aplico a identidade ao argumento dado. Tomo \theta=7 t+15^\circ. Pela identidade,
\cos\left(7 t+15^\circ\right)=\sin\!\left(7 t+15^\circ+90^\circ\right)=\sin\!\left(7 t+105^\circ\right).
Como a amplitude 8 permanece a mesma, a expressão em forma de seno fica
v=8\sin\!\left(7 t+105^\circ\right).
Observação útil para prova: a amplitude e o coeficiente de t (frequência angular) não mudam — só se altera a fase.

Passo 4

Dica prática e exemplos para fixar (úteis na hora da prova):
  • Memorize as duas formas equivalentes: \cos\theta=\sin(\theta+90^\circ) e \sin\theta=\cos(\theta-90^\circ).
  • Exemplo rápido: 5\cos(\omega t-30^\circ)=5\sin(\omega t-30^\circ+90^\circ)=5\sin(\omega t+60^\circ).
  • Lembre-se que fases podem ser adicionadas ou subtraídas por 360^\circ sem mudar a onda (útil para levar a fase a um intervalo desejado).

Resposta

v=8\sin\left(7 t+105^\circ\right)

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