Converta os números da forma retangular para a forma polar:
g) -7+j 24

Passo 1

O enunciado pede para converter o número complexo dado na forma retangular para a forma polar. As informações fornecidas são:
z = -7 + j\,24
Lista de dados extraídos do enunciado:
\text{Parte real } x = -7,\qquad \text{Parte imaginária } y = 24.á

Passo 2

O que é a forma polar e quais fórmulas usamos (aula rápida e prática).
A forma polar de um número complexo z é
z = r\big(\cos\theta + j\sin\theta\big)
onde:
  • r é o módulo (distância do ponto à origem) dado por
r = \sqrt{x^{2}+y^{2}},
  • \theta é o argumento (ângulo medido a partir do eixo real positivo) dado, em princípio, por
\theta = \operatorname{atan2}(y,x),
ou seja, \theta satisfaz \tan\theta = \dfrac{y}{x} com ajuste do quadrante. Explico o ajuste: a função \arctan(y/x) dá um ângulo cujo sinal não identifica sozinho o quadrante; para pontos com x<0 devemos somar \pi (ou 180^\circ) se necessário, para colocar \theta no quadrante correto. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular o módulo r.
Usamos x=-7 e y=24:
r=\sqrt{(-7)^{2}+24^{2}}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25.
Observação amigável: aqui apareceu a conhecida ternária pitagórica 7,24,25 — por isso o resultado inteiro.

Passo 4

Calcular o argumento \theta com cuidado do quadrante.
Primeiro calculo o ângulo de referência \alpha=\arctan\!\big(\dfrac{|y|}{|x|}\big):
\alpha=\arctan\!\left(\dfrac{24}{7}\right).
Numericamente \alpha\approx 73,7398^\circ (ou em radianos \alpha\approx 1,2872 rad). Agora atente para o quadrante: temos x=-7<0 e y=24>0, logo o ponto (-7,24) está no segundo quadrante. No segundo quadrante o argumento é
\theta=180^\circ-\alpha.
Portanto
\theta=180^\circ-73,7398^\circ\approx 106,2602^\circ.
Convertendo para radianos (multiplicando por \pi/180):
\theta\approx 106,2602^\circ\cdot\dfrac{\pi}{180}\approx 1,85459\\ \text{rad}.
Observação exata: como \dfrac{\cos\theta}{1}=\dfrac{-7}{25} e \dfrac{\sin\theta}{1}=\dfrac{24}{25}, temos os valores trigonométricos exatos
\cos\theta=-\dfrac{7}{25},\qquad \sin\theta=\dfrac{24}{25},
o que confirma a consistência do ângulo encontrado.

Passo 5

Escrever as formas polares equivalentes e checar rapidamente.
Forma módulo-ângulo (graus):
z = 25\angle 106,2602^\circ.
Forma trigonométrica:
z=25\big(\cos(106,2602^\circ)+j\sin(106,2602^\circ)\big),
e forma exponencial (radianos):
z=25\,e^{j\,1,85459}.
Checagem rápida (sem calculadora sofisticada): 25\cos\theta=25\cdot(-7/25)=-7 e 25\sin\theta=25\cdot(24/25)=24, que devolve exatamente a forma retangular original — perfeito.

Resposta

25\angle 106,2602^\circ
25\big(\cos(106,2602^\circ)+j\sin(106,2602^\circ)\big)
25\,e^{j\,1,85459}

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