Execute as seguintes operações:
a) 0,8 \angle 30^{\circ}+0,7 \angle 60^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
0,8\angle 30^\circ + 0,7\angle 60^\circ.
Informações dadas:
\text{primeiro vetor: } r_1=0,8,\;\theta_1=30^\circ,
\text{segundo vetor: } r_2=0,7,\;\theta_2=60^\circ.
Queremos o resultado da soma (podemos apresentar em forma retangular e/ou polar).

Passo 2

Regra para converter da forma polar para a forma retangular (essa é a ferramenta que vamos usar):
r\angle\theta = r(\cos\theta + i\sin\theta),
onde r é a magnitude (módulo) e \theta é o ângulo (argumento). Aqui i é a unidade imaginária. Vou converter cada parcela para a forma x+iy (parte real + i vezes parte imaginária).

Passo 3

Converter 0,8\angle 30^\circ para retangular. Usamos \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}:
0,8\angle 30^\circ = 0,8\bigg(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}\bigg) = 0,4\sqrt{3} + i\,0,4.

Passo 4

Converter 0,7\angle 60^\circ para retangular. Usamos \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2} e \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}:
0,7\angle 60^\circ = 0,7\bigg(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\bigg) = 0,35 + i\,0,35\sqrt{3}.

Passo 5

Somar as partes reais e imaginárias separadamente (essa é a vantagem de trabalhar em forma retangular):
\text{parte real } x = 0,4\sqrt{3} + 0,35,
\text{parte imag. } y = 0,4 + 0,35\sqrt{3}.
Podemos usar aproximações decimais para visualizar:
0,4\sqrt{3}\approx 0,692820323,\quad 0,35\sqrt{3}\approx 0,606217783,
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x \approx 0,692820323 + 0,35 = 1,042820323,
y \approx 0,4 + 0,606217783 = 1,006217783.
Portanto a soma em forma retangular é aproximadamente
1,042820323 + i\,1,006217783.

Passo 6

Agora convertemos a forma retangular para polar (para obter magnitude e ângulo). Fórmulas:
r = \sqrt{x^2 + y^2},\qquad \varphi = \operatorname{atan2}(y,x).
Como x>0 e y>0, o ângulo está no primeiro quadrante e podemos usar \varphi=\arctan\big(\dfrac{y}{x}\big).
Calculemos r^2 usando as expressões exatas para evitar perda de precisão:
defina a=0,4 e b=0,35 e s=\sqrt{3}. Então
x = a s + b,\qquad y = a + b s.
Calculando
r^2 = x^2 + y^2 = (a s + b)^2 + (a + b s)^2 =4\big(a^2+b^2+ab s\big),
pois s^2=3 e 1+s^2=4. Substituindo a=0,4, b=0,35 e s=\sqrt{3}:
a^2=0,16,\quad b^2=0,1225,\quad ab=0,14,
a^2+b^2+ab s = 0,16+0,1225+0,14\sqrt{3}\approx 0,5249871131,
r^2 = 4\cdot 0,5249871131 \approx 2,0999484524,
r \approx \sqrt{2,0999484524}\approx 1,449982.

Passo 7

Cálculo do ângulo:
\frac{y}{x}\approx\frac{1,006217783}{1,042820323}\approx 0,96498583.
Tomando arco-tangente (graus):
\varphi \approx \arctan(0,96498583)\approx 43,98^\circ,
pois estamos no primeiro quadrante.

Passo 8

Montando a resposta final em forma polar (arredondando de forma razoável): o resultado da soma é
r\angle\varphi \approx 1,450\angle 43,98^\circ.

Resposta

1,450\angle 43,98^\circ

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