Converta os seguintes números para a forma retangular.
1,2 \angle 135^{\circ}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: 1,2\angle 135^{\circ}.
  • Pedido: converter esse número da forma polar (magnitude e ângulo) para a forma retangular (ou cartesiana), isto é escrever na forma x + j y com x e y reais.

Passo 2

Fórmula de conversão e significado das letras (aula rápida e prática).
  • Uma quantidade complexa em forma polar é escrita como r\angle\theta, onde:
    • r é o módulo (comprimento, magnitude) e é um número real não negativo;
    • \theta é o ângulo, medido em graus aqui ( ^{\circ});
    • a forma retangular correspondente é
    r\angle\theta = r\big(\cos\theta + j\sin\theta\big).Aqui j é a unidade imaginária ( j^2=-1); em matemática às vezes usa-se i, em engenharia usa-se j.
  • Portanto, para encontrar a parte real x e a parte imaginária y basta calcular x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.

Passo 3

Calcular \cos 135^{\circ} e \sin 135^{\circ} (valores exatos).
  • Note que 135^{\circ}=180^{\circ}-45^{\circ}. No círculo unitário:
    • \cos(180^{\circ}-\alpha)=-\cos\alpha,
    • \sin(180^{\circ}-\alpha)=\sin\alpha.
  • Como \cos 45^{\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} e \sin 45^{\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, temos \cos 135^{\circ} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin 135^{\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Aplicar a fórmula com r=1,2 e os valores de cosseno e seno.
  • Parte real: x = 1,2\cos 135^{\circ} = 1,2\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\dfrac{1,2\sqrt{2}}{2} = -0,6\sqrt{2}.
  • Parte imaginária: y = 1,2\sin 135^{\circ} = 1,2\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \dfrac{1,2\sqrt{2}}{2} = 0,6\sqrt{2}.

Passo 5

Dar também a forma numérica aproximada (útil na prova se pedirem aproximação).
  • Como \sqrt{2}\approx 1,41421356, 0,6\sqrt{2}\approx 0,6\times 1,41421356 \approx 0,84852814.
  • Portanto, aproximadamente x\approx -0,8485 e y\approx 0,8485.

Resposta

-0,6\sqrt{2} + j\,0,6\sqrt{2}
-0,8485 + j\,0,8485