Converta para o sistema binário.
\quad 256_{10}

Passo 1

O que o problema pede: converter o número inteiro 256_{10} (isto é, 256 na base decimal) para o sistema binário (base 2). Informação dada: o número é 256 em base 10. O objetivo final é escrever esse mesmo valor na base 2.

Passo 2

Ideia básica do sistema binário (mini-aula): em base 2 um número é escrito como
N=\sum_{k=0}^{m} b_k 2^k,
onde cada dígito b_k pertence ao conjunto \{0,1\}. Aqui b_0 é o dígito menos significativo (valor 2^0), b_1 vale 2^1, e assim por diante. Para converter um inteiro decimal para binário usamos o método das divisões sucessivas por 2: a cada divisão o resto ( 0 ou 1) é um bit do número; os bits, lidos do último resto obtido ao primeiro, formam a representação binária.

Passo 3

Explicando o método das divisões por 2 (passo a passo didático): dividir o número por 2, anotar o quociente inteiro e o resto; repetir dividindo o quociente por 2 até o quociente ser 0. Os restos, lidos de baixo para cima (do último resto obtido para o primeiro), são os dígitos binários do número.

Passo 4

Aplicando o método ao número 256. Vou fazer cada divisão e anotar quociente e resto:
  • Dividindo 256 por 2 obtemos quociente 128 e resto 0.
  • Dividindo 128 por 2 obtemos quociente 64 e resto 0.
  • Dividindo 64 por 2 obtemos quociente 32 e resto 0.
  • Dividindo 32 por 2 obtemos quociente 16 e resto 0.
  • Dividindo 16 por 2 obtemos quociente 8 e resto 0.
  • Dividindo 8 por 2 obtemos quociente 4 e resto 0.
  • Dividindo 4 por 2 obtemos quociente 2 e resto 0.
  • Dividindo 2 por 2 obtemos quociente 1 e resto 0.
  • Dividindo 1 por 2 obtemos quociente 0 e resto 1.

Passo 5

Lista dos restos, na ordem em que foram obtidos (do primeiro ao último): 0,\;0,\;0,\;0,\;0,\;0,\;0,\;0,\;1.

Passo 6

Lendo os restos de baixo para cima (do último para o primeiro) obtemos os dígitos binários, do mais significativo ao menos significativo:
1\;0\;0\;0\;0\;0\;0\;0\;0.
Portanto a representação binária construída é \,100000000_2.

Passo 7

Verificação rápida (mini-aula de checagem): converter de volta para decimal somando potências de 2 com os coeficientes b_k.
1\cdot 2^8 + 0\cdot 2^7 + \cdots + 0\cdot 2^0 = 2^8 = 256,
o que confirma que a conversão está correta.

Resposta

100000000_2

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