Converta para o sistema binário.
\quad 4096_{10}

Passo 1

O enunciado pede para converter o número 4096_{10} (ou seja, o número 4096 na base decimal) para o sistema binário (base 2). Informações dadas:
  • Número a converter: 4096_{10}.
  • Objetivo: encontrar a representação binária desse número, isto é, escrever 4096_{10} como uma sequência de bits (zeros e uns) seguida do subíndice 2.

Passo 2

O que significa escrever um número em binário? Vou explicar de forma bem didática e prática.
  • A base binária usa apenas dois dígitos: 0 e 1.
  • Cada posição (bit) tem um peso que é uma potência de 2. Da direita para a esquerda os pesos são:
2^0,\;2^1,\;2^2,\;2^3,\;\dots
  • Assim, um número binário como b_k b_{k-1}\dots b_1 b_0 representa
b_k\cdot 2^k + b_{k-1}\cdot 2^{k-1} + \dots + b_1\cdot 2^1 + b_0\cdot 2^0,
onde cada b_i é 0 ou 1.
  • Dois métodos comuns para converter decimal para binário são:
    1. reconhecer se o número é uma potência de 2 (nesse caso a conversão é imediata), ou
    2. dividir sucessivamente por 2 e anotar os restos (método padrão de divisão).

Passo 3

Escolha do método: para 4096_{10} é conveniente primeiro verificar se é uma potência de 2, porque isso torna a resposta imediata. Se não fosse uma potência de 2, eu usaria o método das divisões sucessivas. Vou mostrar os dois raciocínios (reconhecimento da potência de 2 e, em seguida, a verificação por divisões) para que você saiba aplicar em prova.

Passo 4

Verificando se 4096 é potência de 2 (cálculo por potências crescentes):
  • Calcular potências conhecidas de 2:
2^{10} = 1024,
2^{11} = 2\cdot 2^{10} = 2\cdot 1024 = 2048,
2^{12} = 2\cdot 2^{11} = 2\cdot 2048 = 4096.
  • Achamos que 2^{12} = 4096. Logo 4096 é exatamente uma potência de 2 com expoente 12.

Passo 5

Interpretação dessa propriedade: se um número N é 2^k, sua representação binária tem um único bit 1 na posição k (contando a partir de 0 na direita) e todos os bits à direita são 0. Em outras palavras, 2^k em binário é um 1 seguido de k zeros:
2^k \longrightarrow 1\underbrace{00\cdots0}_{k\\ \text{zeros}}_2.
Como aqui 4096 = 2^{12}, a representação binária será um 1 seguido de 12 zeros.

Passo 6

Montando explicitamente o número binário com 12 zeros:
4096_{10} = 1\underbrace{000000000000}_{12\\ \text{zeros}}_2.
Escrevendo sem o agrupamento:
4096_{10} = 1000000000000_2.

Passo 7

(verificação alternativa pelo método das divisões sucessivas, para treinar a técnica de prova)
Fazendo divisões por 2 e anotando restos:
4096 \div 2 = 2048,\\ \text{resto }0
2048 \div 2 = 1024,\\ \text{resto }0
1024 \div 2 = 512,\\ \text{resto }0
512 \div 2 = 256,\\ \text{resto }0
256 \div 2 = 128,\\ \text{resto }0
128 \div 2 = 64,\\ \text{resto }0
64 \div 2 = 32,\\ \text{resto }0
32 \div 2 = 16,\\ \text{resto }0
16 \div 2 = 8,\\ \text{resto }0
8 \div 2 = 4,\\ \text{resto }0
4 \div 2 = 2,\\ \text{resto }0
2 \div 2 = 1,\\ \text{resto }0
1 \div 2 = 0,\\ \text{resto }1
Lendo os restos de baixo para cima obtemos 1 seguido de doze 0, ou seja, exatamente 1000000000000_2. Isso confirma a resposta anterior.

Resposta

1000000000000_2

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