Converta para o sistema binário.
Passo 1
O enunciado pede para converter o número
(ou seja, o número
na base decimal) para o sistema binário (base
). Informações dadas:
- Número a converter:
. - Objetivo: encontrar a representação binária desse número, isto é, escrever
como uma sequência de bits (zeros e uns) seguida do subíndice .
Passo 2
O que significa escrever um número em binário? Vou explicar de forma bem didática e prática.
- A base binária usa apenas dois dígitos:
e . - Cada posição (bit) tem um peso que é uma potência de
. Da direita para a esquerda os pesos são:
- Assim, um número binário como
representa
onde cada
é
ou
.
- Dois métodos comuns para converter decimal para binário são:
- reconhecer se o número é uma potência de
(nesse caso a conversão é imediata), ou - dividir sucessivamente por
e anotar os restos (método padrão de divisão).
- reconhecer se o número é uma potência de
Passo 3
Escolha do método: para
é conveniente primeiro verificar se é uma potência de
, porque isso torna a resposta imediata. Se não fosse uma potência de
, eu usaria o método das divisões sucessivas. Vou mostrar os dois raciocínios (reconhecimento da potência de
e, em seguida, a verificação por divisões) para que você saiba aplicar em prova.
Passo 4
Verificando se
é potência de
(cálculo por potências crescentes):
- Calcular potências conhecidas de
:
- Achamos que
. Logo é exatamente uma potência de com expoente .
Passo 5
Interpretação dessa propriedade: se um número
é
, sua representação binária tem um único bit
na posição
(contando a partir de
na direita) e todos os bits à direita são
. Em outras palavras,
em binário é um
seguido de
zeros:
Como aqui
, a representação binária será um
seguido de
zeros.
Passo 6
Montando explicitamente o número binário com
zeros:
Escrevendo sem o agrupamento:
Passo 7
(verificação alternativa pelo método das divisões sucessivas, para treinar a técnica de prova)
Fazendo divisões por e anotando restos:
Fazendo divisões por
Lendo os restos de baixo para cima obtemos
seguido de doze
, ou seja, exatamente
. Isso confirma a resposta anterior.