Converta Z=12+j 5 para forma polar.

Passo 1

O enunciado dá o número complexo \,Z=12+j5\, e pede para convertê‑lo para a forma polar.
Informações relevantes fornecidas:
  • Parte real: \Re(Z)=12.
  • Parte imaginária: \Im(Z)=5.
  • Objetivo: encontrar o módulo |Z| e o argumento \theta e escrever Z na forma polar (ângulo em graus ou radianos, e/ou forma exponencial).

Passo 2

Vamos calcular o módulo |Z|. Conceito e fórmula: o módulo de um número complexo \,Z=x+jy\, é a distância do ponto (x,y) até a origem no plano complexo, dada por
|Z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aqui x=\Re(Z) e y=\Im(Z). Substituindo:
|Z|=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13.
Interpretação prática: |Z|=13. Não precisei de calculadora porque (5,12,13) é uma tripla pitagórica conhecida.

Passo 3

Agora o argumento \theta. Definição e fórmula básica: para \,Z=x+jy\, com x\neq0, a tangente do argumento é
\tan\theta=\frac{y}{x}.
Aqui \tan\theta=\dfrac{5}{12}. Importante verificar o quadrante: como x=12>0 e y=5>0, o ponto está no primeiro quadrante, então o argumento \theta é apenas \arctan(5/12) (sem ajuste). Assim
\theta=\arctan\!\left(\frac{5}{12}\right).
Podemos também obter os cosseno e seno diretamente pela razão com o módulo (útil na prova):
\cos\theta=\frac{x}{|Z|}=\frac{12}{13},\qquad \sin\theta=\frac{y}{|Z|}=\frac{5}{13}.
Essas são razões exatas (novamente graças à tripla 5,12,13). Para escrever o ângulo em graus e em radianos, calculamos a aproximação numérica:
\theta\approx 22{,}62^\circ
(arredondado para duas casas decimais) e em radianos
\theta\approx 0{,}3948\\ \text{rad}
(arreondado para quatro casas decimais), usando \theta\\ \text{(rad)}=\theta\\ \text{(deg)}\cdot\dfrac{\pi}{180}.

Passo 4

Escrever as formas polares conhecidas. Três formas equivalentes e práticas para a prova:
  1. Forma magnitude‑ângulo (graus):
Z=13\angle 22{,}62^\circ.
  1. Forma trigonométrica (com seno e cosseno exatos):
Z=13\bigl(\cos\theta + j\sin\theta\bigr)=13\Bigl(\frac{12}{13}+j\frac{5}{13}\Bigr).
  1. Forma exponencial (radianos, útil em circuitos e transformadas):
Z=13e^{j0{,}3948}.
Verificação rápida (sem calculadora): multiplicando a forma trigonométrica,
13\Bigl(\frac{12}{13}+j\frac{5}{13}\Bigr)=12+j5,
que retorna ao Z original — cheque perfeito.

Passo 5

Dica de prova e moral de amigo: sempre calcule primeiro o módulo com \sqrt{x^2+y^2}. Verifique o quadrante antes de usar \arctan(y/x) (pode ser necessário somar \pi ou ajustar para quadrantes II–IV). Quando x,y formam uma tripla pitagórica, aproveite as razões exatas \cos\theta=x/|Z| e \sin\theta=y/|Z| para evitar cálculos trigonométricos complicados. Força aí — isso é rapidinho na prova!

Resposta

\,Z=13\angle 22{,}62^\circ\,
\,Z=13e^{j0{,}3948}\,

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