Determine o ângulo de fase de Z=10+j 10.

Passo 1

O enunciado dá o número complexo Z=10+j\,10 e pede o ângulo de fase (ou argumento) desse número complexo. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Parte real: \Re(Z)=10.
  • Parte imaginária: \Im(Z)=10.
    A pergunta é: qual é o ângulo de fase \theta=\arg(Z) correspondente a Z?

Passo 2

Entendendo o que é ângulo de fase: um número complexo Z escrito na forma retangular é
Z=\Re(Z)+j\,\Im(Z).
A forma polar (ou exponencial) escreve Z como
Z=|Z|e^{j\theta},
onde:
  • |Z| é o módulo (distância ao origem) dado por |Z|=\sqrt{(\Re(Z))^2+(\Im(Z))^2}.
  • \theta é o argumento (ângulo de fase), que satisfaz
\tan\theta=\frac{\Im(Z)}{\Re(Z)}.
Importante: usar \tan\theta=\Im/\Re requer verificar em qual quadrante estamos, porque a função arco-tangente comum tem ambiguidade de \pi. A versão correta e sem ambiguidade (na prática) é \theta=\operatorname{atan2}(\Im(Z),\Re(Z)), que leva em conta os sinais de \Re e \Im. O valor principal de \arg costuma ser dado em (-\pi,\pi].

Passo 3

Calcular a razão \Im/\Re com os dados:
\frac{\Im(Z)}{\Re(Z)}=\frac{10}{10}=1.
Portanto \tan\theta=1.

Passo 4

Resolver \tan\theta=1. Os valores gerais que satisfazem isso são
\theta = \frac{\pi}{4} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Agora aplicamos o teste de quadrante: como \Re(Z)=10>0 e \Im(Z)=10>0, o ponto está no primeiro quadrante, onde o argumento principal está entre 0 e \tfrac{\pi}{2}. Assim escolhemos
\theta=\frac{\pi}{4}.

Passo 5

Converter para graus (opcional, mas útil na prova):
\frac{\pi}{4}=\;45^\circ.
Também vale observar o módulo, só para ficar completo:
|Z|=\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt{2},
logo a forma polar é Z=10\sqrt{2}\,e^{j\pi/4}.

Resposta

\theta=\dfrac{\pi}{4}=45^\circ

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