Converter o ponto do Sistema de Coordenadas Cartesianas para Cilíndricas:
Passo 1
O enunciado dá um ponto no sistema cartesiano e pede a conversão para coordenadas cilíndricas. As informações que temos são:
- Ponto cartesiano:
, ou seja , e . - Pedido: encontrar as coordenadas cilíndricas
correspondentes.
Passo 2
O que são coordenadas cilíndricas e quais fórmulas usar (explicação mastigada).
- Em coordenadas cilíndricas um ponto é representado por
, onde: -
é a distância do ponto ao eixo (distância no plano ), -
é o ângulo entre o eixo positivo e o raio-projeção do ponto no plano , -
é a mesma coordenada do sistema cartesiano.
-
- As fórmulas diretas de conversão (essas são as que vamos aplicar):
- Explicando
: é uma forma de obter o ângulo correta considerando o quadrante do ponto. Se usássemos só poderíamos errar o quadrante quando for negativo. O valor de costuma ser dado no intervalo (ou alternadamente qualquer ). - Pequeno exemplo para fixar: para
tem-se e , porque e o ponto está no primeiro quadrante.
Passo 3
Calcular
passo a passo para o ponto dado.
Agora simplifico
. Escrevo
, logo
Passo 4
Determinar
com cuidado do quadrante.
- Faço primeiro a razão
:
- O valor principal de
é , mas esse número corresponde a um ângulo no quarto quadrante (x positivo, y negativo). Nosso ponto tem (negativo) e (positivo), isto é, está no segundo quadrante. Para ajustar o ângulo ao segundo quadrante usamos a ideia do ou fazemos:
Aplicando:
- Portanto o ângulo principal no intervalo
é
- Observação útil: outra representação válida seria
(ou para qualquer inteiro ), mas normalmente escolhemos em , então usamos .
Passo 5
Determinar
.
- Em coordenadas cilíndricas o
permanece igual ao cartesiano, então
Passo 6
Verificação rápida (bom para prova: checar que não deu bobagem).
- Sabendo
e , calculo
e
Isso confere com o ponto original
, ótimo — tudo consistente.