Converter o ponto do Sistema de Coordenadas Cartesianas para Cilíndricas:
(-4,4,2)

Passo 1

O enunciado dá um ponto no sistema cartesiano e pede a conversão para coordenadas cilíndricas. As informações que temos são:
  • Ponto cartesiano: (-4,4,2), ou seja x=-4, y=4 e z=2.
  • Pedido: encontrar as coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) correspondentes.

Passo 2

O que são coordenadas cilíndricas e quais fórmulas usar (explicação mastigada).
  • Em coordenadas cilíndricas um ponto é representado por (r,\theta,z), onde:
    • r é a distância do ponto ao eixo z (distância no plano xy),
    • \theta é o ângulo entre o eixo x positivo e o raio-projeção do ponto no plano xy,
    • z é a mesma coordenada z do sistema cartesiano.
  • As fórmulas diretas de conversão (essas são as que vamos aplicar):
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
\theta=\operatorname{atan2}(y,x)
z=z
  • Explicando \operatorname{atan2}(y,x): é uma forma de obter o ângulo correta considerando o quadrante do ponto. Se usássemos só \theta=\arctan(y/x) poderíamos errar o quadrante quando x for negativo. O valor de \theta costuma ser dado no intervalo [0,2\pi) (ou alternadamente qualquer \theta+2\pi k).
  • Pequeno exemplo para fixar: para (x,y)=(1,1) tem-se r=\sqrt{1+1}=\sqrt{2} e \theta=\pi/4, porque y/x=1 e o ponto está no primeiro quadrante.

Passo 3

Calcular r passo a passo para o ponto dado.
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(-4)^{2}+4^{2}}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}
Agora simplifico \sqrt{32}. Escrevo 32=16\cdot2, logo
r=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}.

Passo 4

Determinar \theta com cuidado do quadrante.
  • Faço primeiro a razão y/x:
\frac{y}{x}=\frac{4}{-4}=-1.
  • O valor principal de \arctan(-1) é -\dfrac{\pi}{4}, mas esse número corresponde a um ângulo no quarto quadrante (x positivo, y negativo). Nosso ponto tem x=-4 (negativo) e y=4 (positivo), isto é, está no segundo quadrante. Para ajustar o ângulo ao segundo quadrante usamos a ideia do \operatorname{atan2} ou fazemos:
\theta=\pi+\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)\quad\text{(quando \(x<0\))}
Aplicando:
\theta=\pi+\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}.
  • Portanto o ângulo principal no intervalo [0,2\pi) é
\theta=\frac{3\pi}{4}.
  • Observação útil: outra representação válida seria \theta=-\dfrac{\pi}{4} (ou \theta=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k para qualquer inteiro k), mas normalmente escolhemos \theta em [0,2\pi), então usamos \dfrac{3\pi}{4}.

Passo 5

Determinar z.
  • Em coordenadas cilíndricas o z permanece igual ao z cartesiano, então
z=2.

Passo 6

Verificação rápida (bom para prova: checar que não deu bobagem).
  • Sabendo r=4\sqrt{2} e \theta=\dfrac{3\pi}{4}, calculo
r\cos\theta = 4\sqrt{2}\cos\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)
\cos\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}
r\cos\theta = 4\sqrt{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=4\cdot(-1)=-4=x
e
r\sin\theta = 4\sqrt{2}\sin\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)
\sin\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}
r\sin\theta = 4\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=4\cdot1=4=y.
Isso confere com o ponto original (-4,4,2), ótimo — tudo consistente.

Resposta

(4\sqrt{2},\tfrac{3\pi}{4},2)