Converter o ponto do Sistema de Coordenadas Cartesianas para Cilíndricas:
(-3,-3,7)

Passo 1

O enunciado dá o ponto em coordenadas cartesianas (-3,-3,7) e pede a conversão para coordenadas cilíndricas.
Informações relevantes fornecidas:
  • x = -3
  • y = -3
  • z = 7
    O que se pede: encontrar (r,\theta,z) em coordenadas cilíndricas correspondentes ao ponto dado.

Passo 2

Definição e fórmulas úteis (explicação calma e direta):
  • Em coordenadas cilíndricas, um ponto é descrito por (r,\theta,z), onde: r \ge 0 \quad\text{é a distância ao eixo }z,éâ
\theta \quad\text{é o ângulo medido a partir do eixo positivo }x\text{ (no plano }xy\text{)},éâ
z \quad\text{é a mesma coordenada }z\text{ do sistema cartesiano.}é
  • As fórmulas de conversão de cartesiano (x,y,z) para cilíndrico (r,\theta,z) são: r = \sqrt{x^{2}+y^{2}},
\theta = \operatorname{atan2}(y,x)\quad\text{(ou ajustar }\theta=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right)\text{ conforme o quadrante)},
z = z.
Explicação sobre \operatorname{atan2}: a função \operatorname{atan2}(y,x) dá o ângulo correto levando em conta o sinal de x e y, evitando ambiguidade de quadrante que a simples \arctan(y/x) teria.

Passo 3

Calcular r passo a passo:
r = \sqrt{x^{2}+y^{2}} = \sqrt{(-3)^{2}+(-3)^{2}} = \sqrt{9+9} = \sqrt{18}.
Simplificando \sqrt{18}:
\sqrt{18} = \sqrt{9\cdot 2} = 3\sqrt{2}.
Portanto r = 3\sqrt{2}. (Anota aí: é a distância do ponto ao eixo z vista no plano xy.)

Passo 4

Determinar o ângulo \theta com cuidado (quadrante importa):
  • Calcule a razão y/x: \frac{y}{x} = \frac{-3}{-3} = 1.
  • A simples \arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) \arctan(1)=\dfrac{\pi}{4}. Mas isso é um ângulo no primeiro quadrante. Os sinais de x e y são ambos negativos, portanto o ponto (-3,-3) está no terceiro quadrante. Para colocar o ângulo no terceiro quadrante, soma-se \pi: \theta = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}.
  • Observação sobre representações equivalentes: ângulos coterminais são válidos, então \theta = \frac{5\pi}{4} é equivalente a \theta = -\frac{3\pi}{4} (algumas implementações de \operatorname{atan2} retornam este último). Para uma convenção comum onde \theta\in[0,2\pi), prefere-se \theta=\dfrac{5\pi}{4}.

Passo 5

Manter a coordenada z:
z = 7
(Em coordenadas cilíndricas a altura z permanece igual.)

Passo 6

Resumo final antes da resposta: calculamos
r = 3\sqrt{2},\qquad \theta = \frac{5\pi}{4}\\ (\text{escolhendo } \theta\in[0,2\pi)),\qquad z=7.
Lembrete amigo: também é correto escrever \theta = -\dfrac{3\pi}{4} ou qualquer \theta + 2k\pi, mas a forma padrão escolhida aqui é com \theta em [0,2\pi).

Resposta

\left(3\sqrt{2},\,\dfrac{5\pi}{4},\,7\right)