Uma convocação reuniu 12 representantes, cada um de um dos apartamentos de um condomínio, sendo 7 mulheres e 5 homens. Decidiu-se formar uma comissão de estudos para ampliar a segurança do local. Essa comissão deve ser formada obrigatoriamente por 2 mulheres e 2 homens. Nessas condições, o número de comissões possíveis é
(A) 144.
(B) 320 .
(C) 210 .
(D) 480 .
(E) 180 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Compareceram 12 representantes ao total.
  • Desses, 7 são mulheres e 5 são homens.
  • A comissão deve ter exatamente 2 mulheres e 2 homens.
O que o problema pergunta:
  • Quantas comissões diferentes podem ser formadas obedecendo a essa exigência (ou seja, quantas escolhas distintas de 2 mulheres entre as 7 e 2 homens entre os 5 existem, combinadas em comissões de 4 pessoas)?

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado de forma simples):
  • Quando queremos escolher k elementos dentre n sem considerar ordem, usamos a combinação \binom{n}{k}, lida “n escolhe k”.
  • A fórmula da combinação é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) significa n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1.
  • Aqui precisamos escolher 2 mulheres dentre 7 e 2 homens dentre 5. Essas duas escolhas são independentes (a escolha das mulheres não afeta a escolha dos homens), então aplicamos o princípio fundamental da contagem: multiplicamos o número de formas de escolher as mulheres pelo número de formas de escolher os homens.

Passo 3

Calcular o número de maneiras de escolher 2 mulheres entre 7:
\binom{7}{2}=\frac{7!}{2!(7-2)!}=\frac{7!}{2!\,5!}.
Fazendo o cancelamento prático (evitando calcular 7! inteiro):
\binom{7}{2}=\frac{7\cdot6\cdot5!}{2\cdot1\cdot5!}=\frac{7\cdot6}{2\cdot1}=\frac{42}{2}=21.
Portanto há 21 formas de escolher as mulheres.

Passo 4

Calcular o número de maneiras de escolher 2 homens entre 5:
\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5\cdot4\cdot3!}{2\cdot1\cdot3!}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=\frac{20}{2}=10.
Portanto há 10 formas de escolher os homens.

Passo 5

Combinar as escolhas: como a escolha das mulheres e a escolha dos homens são independentes, multiplicamos os números:
\text{total}=\binom{7}{2}\times\binom{5}{2}=21\times10.
Fazendo a multiplicação:
21\times10=210.

Passo 6

Interpretação final: existem 210 comissões diferentes que obedecem à condição de ter exatamente 2 mulheres e 2 homens. Entre as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (C).

Resposta

210