Uma convocação reuniu 12 representantes, cada um de um dos apartamentos de um condomínio, sendo 7 mulheres e 5 homens. Decidiu-se formar uma comissão de estudos para ampliar a segurança do local. Essa comissão deve ser formada obrigatoriamente por 2 mulheres e 2 homens. Nessas condições, o número de comissões possíveis é
(A) 144.
(B) 320 .
(C) 210 .
(D) 480 .
(E) 180 .
(A) 144.
(B) 320 .
(C) 210 .
(D) 480 .
(E) 180 .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Compareceram
representantes ao total. - Desses,
são mulheres e são homens. - A comissão deve ter exatamente
mulheres e homens.
O que o problema pergunta:
- Quantas comissões diferentes podem ser formadas obedecendo a essa exigência (ou seja, quantas escolhas distintas de
mulheres entre as e homens entre os existem, combinadas em comissões de pessoas)?
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado de forma simples):
- Quando queremos escolher
elementos dentre sem considerar ordem, usamos a combinação , lida “n escolhe k”. - A fórmula da combinação é
onde
(fatorial de
) significa
.
- Aqui precisamos escolher
mulheres dentre e homens dentre . Essas duas escolhas são independentes (a escolha das mulheres não afeta a escolha dos homens), então aplicamos o princípio fundamental da contagem: multiplicamos o número de formas de escolher as mulheres pelo número de formas de escolher os homens.
Passo 3
Calcular o número de maneiras de escolher
mulheres entre
:
Fazendo o cancelamento prático (evitando calcular
inteiro):
Portanto há
formas de escolher as mulheres.
Passo 4
Calcular o número de maneiras de escolher
homens entre
:
Portanto há
formas de escolher os homens.
Passo 5
Combinar as escolhas: como a escolha das mulheres e a escolha dos homens são independentes, multiplicamos os números:
Fazendo a multiplicação:
Passo 6
Interpretação final: existem
comissões diferentes que obedecem à condição de ter exatamente
mulheres e
homens. Entre as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (C).
Resposta
210