Convolução/deconvolução discreta: calcular
ou
segundo o caso (usar diferentes métodos):
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (assumo que as sequências começam em
, que é o caso padrão quando só são dadas as listas de valores).
- Sequências fornecidas (peguei estes vetores do enunciado):
-
, ou seja . -
, ou seja .
-
- O que o enunciado pede: calcular a convolução discreta
(porque foram dados e ). - Observação importante: comprimento (número de amostras) do resultado é
. Aqui e , logo . Assim terá índices . - Vou usar mais de um método (como foi pedido): (A) definição direta da convolução (soma), (B) multiplicação de polinômios / método do “long multiplication” (equivalente), e (C) método do deslizamento e soma (tabela/overlap). Cada método dá o mesmo vetor de saída; vou mostrar os passos e interpretar as somas para você saber fazer na prova.
Passo 2
Aula rápida e amigável sobre a definição da convolução discreta (conceito e notação).
- Definição: para sequências causais (valores zero fora do suporte) a convolução é
- O que significa cada símbolo:
-
é o valor da saída no instante . -
é o índice de somação (varre os índices de ). -
é o valor de no índice . -
é o valor de deslocado para combinar com .
-
- Na prática, como
é não nulo só para e só para , a soma reduz-se a que satisfaçam e . Em cada só somamos os produtos onde ambos os índices existem.
Passo 3
Calcular
pelo método direto (aplicar a definição e listar termo a termo). Vou mostrar para cada
os termos que entram na soma e a conta aritmética explícita — isso é exatamente o que você deve fazer na prova quando não há jeito mais rápido.
- Fórmula prática para nosso caso:
onde
se
ou
.
Agora calculo
até
.
- Para
: só faz válido.
- Para
: (porque deve estar em ).
- Para
: .
- Para
: .
- Para
: agora em => .
- Para
: .
- Para
: .
- Para
: somente.
Portanto, pelo método direto obtemos a sequência
.
Passo 4
Método 2 — multiplicação de polinômios / método do “long multiplication” (interpretar as polinômios geradores). Isso serve para entender e para fazer com calma na prova quando preferir ver como os termos se acumulam.
- Representamos as polinômios de coeficientes:
A convolução no tempo corresponde ao produto
cujos coeficientes de
são
.
-
Faço a multiplicação coeficiente a coeficiente (como multiplicar números em colunas):
- Multiplicar
por todo dá a contribuição não deslocada: . - Multiplicar
por todo e deslocar um passo (coeficiente acompanha ): deslocado resulta em . - Multiplicar
: deslocado dois passos => . - Multiplicar
: deslocado três passos => . - Multiplicar
: deslocado quatro passos => .
- Multiplicar
-
Somando coluna a coluna (alinhadas pelo deslocamento) obtemos:
- Soma das primeiras colunas:
. - Segunda coluna:
. - Terceira coluna:
. - Quarta:
. - Quinta:
. - Sexta:
. - Sétima:
. - Oitava:
.
- Soma das primeiras colunas:
Isso reproduz
, exatamente como antes.
Passo 5
Método 3 — tabela de sobreposição (sliding dot-product). Esse é o método visual: escrever
invertido e deslizar sobre
e fazer produto escalar em cada posição. É prático em prova para sequências curtas.
- Escreve-se
horizontal e para cada deslocamento de (de 0 a 4) calcula-se produto escalar dos termos que se sobrepõem. Fizemos isso implicitamente nos passos anteriores; por exemplo, para a janela de sobre cobre e o produto escalar foi . Repetindo para todos os deslocamentos chegamos ao mesmo vetor final.
Passo 6
Checagem final e dica de prova.
- Todos os três métodos dão o mesmo resultado (bom sinal):
. - Dicas para a prova:
- Se os vetores são curtos, usar o método direto termo a termo é seguro e rápido.
- Para vetores um pouco maiores, prefira a técnica de multiplicação por colunas (método 2) — é menos sujeito a erro de índice.
- Sempre verifique o comprimento do resultado
para saber até onde calcular. - Escreva claramente os termos que entram na soma para cada
; isso evita confundir índices.