Convolução/deconvolução discreta: calcular y[n], x[n] ou h[n] segundo o caso (usar diferentes métodos):
x[n]=\{3,2,5,-2,1\}
h[n]=\{3,3,4,5\}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (assumo que as sequências começam em n=0, que é o caso padrão quando só são dadas as listas de valores).
  • Sequências fornecidas (peguei estes vetores do enunciado):
    • \;x[n]=\{3,2,5,-2,1\}, ou seja \;x[0]=3,\;x[1]=2,\;x[2]=5,\;x[3]=-2,\;x[4]=1.
    • \;h[n]=\{3,3,4,5\}, ou seja \;h[0]=3,\;h[1]=3,\;h[2]=4,\;h[3]=5.
  • O que o enunciado pede: calcular a convolução discreta \;y[n]=x[n]*h[n] (porque foram dados x[n] e h[n]).
  • Observação importante: comprimento (número de amostras) do resultado é \;N_y=N_x+N_h-1. Aqui \;N_x=5 e \;N_h=4, logo \;N_y=8. Assim \;y[n] terá índices n=0,1,\dots,7.
  • Vou usar mais de um método (como foi pedido): (A) definição direta da convolução (soma), (B) multiplicação de polinômios / método do “long multiplication” (equivalente), e (C) método do deslizamento e soma (tabela/overlap). Cada método dá o mesmo vetor de saída; vou mostrar os passos e interpretar as somas para você saber fazer na prova.

Passo 2

Aula rápida e amigável sobre a definição da convolução discreta (conceito e notação).
  • Definição: para sequências causais (valores zero fora do suporte) a convolução é
y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\,h[n-k].
  • O que significa cada símbolo:
    • y[n] é o valor da saída no instante n.
    • k é o índice de somação (varre os índices de x).
    • x[k] é o valor de x no índice k.
    • h[n-k] é o valor de h deslocado para combinar com x[k].
  • Na prática, como x[k] é não nulo só para k=0,\dots,4 e h[m] só para m=0,\dots,3, a soma reduz-se a \;k que satisfaçam 0\le k\le4 e 0\le n-k\le3. Em cada n só somamos os produtos onde ambos os índices existem.

Passo 3

Calcular y[n] pelo método direto (aplicar a definição e listar termo a termo). Vou mostrar para cada n os termos que entram na soma e a conta aritmética explícita — isso é exatamente o que você deve fazer na prova quando não há jeito mais rápido.
  • Fórmula prática para nosso caso:
y[n]=\sum_{k=0}^{4} x[k]\,h[n-k],
onde h[m]=0 se m<0 ou m>3.
Agora calculo y[0] até y[7].
  • Para n=0: só k=0 faz n-k=0 válido.
y[0]=x[0]h[0]=3\cdot 3=9.
  • Para n=1: k=0,1 (porque n-k deve estar em 0\ldots3).
y[1]=x[0]h[1]+x[1]h[0]=3\cdot3 + 2\cdot3 =9+6=15.
  • Para n=2: k=0,1,2.
y[2]=x[0]h[2]+x[1]h[1]+x[2]h[0]=3\cdot4 + 2\cdot3 + 5\cdot3 =12+6+15=33.
  • Para n=3: k=0,1,2,3.
y[3]=x[0]h[3]+x[1]h[2]+x[2]h[1]+x[3]h[0]=3\cdot5 + 2\cdot4 + 5\cdot3 + (-2)\cdot3 =15+8+15-6=32.
  • Para n=4: agora n-k em 0\ldots3 => k=1,2,3,4.
y[4]=x[1]h[3]+x[2]h[2]+x[3]h[1]+x[4]h[0]=2\cdot5 + 5\cdot4 + (-2)\cdot3 + 1\cdot3 =10+20-6+3=27.
  • Para n=5: k=2,3,4.
y[5]=x[2]h[3]+x[3]h[2]+x[4]h[1]=5\cdot5 + (-2)\cdot4 + 1\cdot3 =25-8+3=20.
  • Para n=6: k=3,4.
y[6]=x[3]h[3]+x[4]h[2]=(-2)\cdot5 + 1\cdot4 =-10+4=-6.
  • Para n=7: k=4 somente.
y[7]=x[4]h[3]=1\cdot5=5.
Portanto, pelo método direto obtemos a sequência \;y[n]=\{9,15,33,32,27,20,-6,5\}.

Passo 4

Método 2 — multiplicação de polinômios / método do “long multiplication” (interpretar as polinômios geradores). Isso serve para entender e para fazer com calma na prova quando preferir ver como os termos se acumulam.
  • Representamos as polinômios de coeficientes:
X(z)=x[0]+x[1]z^{-1}+x[2]z^{-2}+x[3]z^{-3}+x[4]z^{-4},
H(z)=h[0]+h[1]z^{-1}+h[2]z^{-2}+h[3]z^{-3}.
A convolução no tempo corresponde ao produto Y(z)=X(z)H(z) cujos coeficientes de z^{-n} são y[n].
  • Faço a multiplicação coeficiente a coeficiente (como multiplicar números em colunas):
    • Multiplicar x[0]=3 por todo h dá a contribuição não deslocada: 3\cdot\{3,3,4,5\}=\{9,9,12,15\}.
    • Multiplicar x[1]=2 por todo h e deslocar um passo (coeficiente acompanha z^{-1}): 2\cdot\{3,3,4,5\} deslocado resulta em \{0,6,6,8,10\}.
    • Multiplicar x[2]=5: 5\cdot\{3,3,4,5\} deslocado dois passos => \{0,0,15,15,20,25\}.
    • Multiplicar x[3]=-2: -2\cdot\{3,3,4,5\} deslocado três passos => \{0,0,0,-6,-6,-8,-10\}.
    • Multiplicar x[4]=1: 1\cdot\{3,3,4,5\} deslocado quatro passos => \{0,0,0,0,3,3,4,5\}.
  • Somando coluna a coluna (alinhadas pelo deslocamento) obtemos:
    • Soma das primeiras colunas: 9.
    • Segunda coluna: 9+6=15.
    • Terceira coluna: 12+6+15=33.
    • Quarta: 15+8+15-6=32.
    • Quinta: 10+20-6+3=27.
    • Sexta: 25-8+3=20.
    • Sétima: -10+4=-6.
    • Oitava: 5.
Isso reproduz \;y[n]=\{9,15,33,32,27,20,-6,5\}, exatamente como antes.

Passo 5

Método 3 — tabela de sobreposição (sliding dot-product). Esse é o método visual: escrever h invertido e deslizar sobre x e fazer produto escalar em cada posição. É prático em prova para sequências curtas.
  • Escreve-se x horizontal e para cada deslocamento de h (de 0 a 4) calcula-se produto escalar dos termos que se sobrepõem. Fizemos isso implicitamente nos passos anteriores; por exemplo, para n=3 a janela de h sobre x cobre x[0]..x[3] e o produto escalar foi 3\cdot5 + 2\cdot4 + 5\cdot3 + (-2)\cdot3 =32. Repetindo para todos os deslocamentos chegamos ao mesmo vetor final.

Passo 6

Checagem final e dica de prova.
  • Todos os três métodos dão o mesmo resultado (bom sinal): \;y[n]=\{9,15,33,32,27,20,-6,5\}.
  • Dicas para a prova:
    • Se os vetores são curtos, usar o método direto termo a termo é seguro e rápido.
    • Para vetores um pouco maiores, prefira a técnica de multiplicação por colunas (método 2) — é menos sujeito a erro de índice.
    • Sempre verifique o comprimento do resultado \;N_x+N_h-1 para saber até onde calcular.
    • Escreva claramente os termos que entram na soma para cada n; isso evita confundir índices.

Resposta

\;y[n]=\{9,15,33,32,27,20,-6,5\}

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