Determine a periodicidade dos seguintes sinais, e se for periódico calcular o período:
Passo 1
O enunciado dá o sinal
e pede para determinar se o sinal é periódico e, se for, calcular o período.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A expressão no expoente tem uma parte imaginária dependente de
: . - Há também um termo real constante no expoente:
.
Passo 2
Primeiro reescrevo o sinal separando a parte constante da parte dependente de
. Uso a propriedade
:
Aqui
é uma constante real (amplificação/atenuação) e a dependência em
está em
. Defino a frequência angular
Passo 3
Vou usar a definição de periodicidade: um sinal
é periódico se existe
tal que, para todo
,
Aplicando isso ao nosso sinal (e lembrando que
é constante e, portanto, não afeta a igualdade), basta exigir
o que implica
Uma exponencial complexa vale
quando seu argumento é um múltiplo inteiro de
. Assim existe um inteiro
tal que
As soluções positivas para
são
O menor período positivo (período fundamental) corresponde ao menor
positivo que satisfaça a equação; geralmente toma-se
quando
.
Observação didática rápida: no caso contínuo
é periódico para qualquer
, com período básico
. (Isso difere do caso discreto, onde a racionalidade de
importa.)
Passo 4
Agora calculo o período fundamental usando
e
:
Passo 5
Faço uma verificação direta para ficar seguro: substituo
em
:
Como
segue que
para todo
. Logo
é um período. É o menor positivo porque exigir
com
dá
, e
fornece o menor
.
Passo 6
Conclusão clara: o fator constante
não altera a periodicidade (desde que seja diferente de zero), e a parte
tem período fundamental
. Portanto o sinal dado é periódico e seu período fundamental é
.
Resposta
Periódico, período fundamental