Determine a periodicidade dos seguintes sinais, e se for periódico calcular o período:
\quad x(t)=e^{j(\pi / 2) t-11}

Passo 1

O enunciado dá o sinal
x(t)=e^{j(\pi/2)\,t-11}
e pede para determinar se o sinal é periódico e, se for, calcular o período.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A expressão no expoente tem uma parte imaginária dependente de t: \,j(\pi/2)\,t.
  • Há também um termo real constante no expoente: -11.

Passo 2

Primeiro reescrevo o sinal separando a parte constante da parte dependente de t. Uso a propriedade \,e^{a+b}=e^{a}e^{b}:
x(t)=e^{j(\pi/2)\,t-11}=e^{-11}\cdot e^{j(\pi/2)\,t}.
Aqui e^{-11} é uma constante real (amplificação/atenuação) e a dependência em t está em e^{j(\pi/2)\,t}. Defino a frequência angular
\omega_0=\frac{\pi}{2}.

Passo 3

Vou usar a definição de periodicidade: um sinal x(t) é periódico se existe T>0 tal que, para todo t,
x(t+T)=x(t).
Aplicando isso ao nosso sinal (e lembrando que e^{-11} é constante e, portanto, não afeta a igualdade), basta exigir
e^{j\omega_0 (t+T)}=e^{j\omega_0 t},
o que implica
e^{j\omega_0 T}=1.
Uma exponencial complexa vale 1 quando seu argumento é um múltiplo inteiro de 2\pi. Assim existe um inteiro k tal que
\omega_0 T = 2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.
As soluções positivas para T são
T=\frac{2\pi k}{\omega_0}.
O menor período positivo (período fundamental) corresponde ao menor k positivo que satisfaça a equação; geralmente toma-se k=1 quando \omega_0\neq0.
Observação didática rápida: no caso contínuo e^{j\omega_0 t} é periódico para qualquer \omega_0\neq0, com período básico 2\pi/\omega_0. (Isso difere do caso discreto, onde a racionalidade de \omega_0/2\pi importa.)

Passo 4

Agora calculo o período fundamental usando \omega_0=\pi/2 e k=1:
T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}=\frac{2\pi}{\pi/2}=2\pi\cdot\frac{2}{\pi}=4.

Passo 5

Faço uma verificação direta para ficar seguro: substituo t+4 em x:
x(t+4)=e^{-11}\cdot e^{j(\pi/2)(t+4)}=e^{-11}\cdot e^{j(\pi/2)t}\cdot e^{j(\pi/2)\cdot 4}.
Como
e^{j(\pi/2)\cdot 4}=e^{j2\pi}=1,
segue que x(t+4)=e^{-11}e^{j(\pi/2)t}=x(t) para todo t. Logo 4 é um período. É o menor positivo porque exigir \omega_0 T=2\pi k com k\ge1 T=4k, e k=1 fornece o menor T>0.

Passo 6

Conclusão clara: o fator constante e^{-11} não altera a periodicidade (desde que seja diferente de zero), e a parte e^{j(\pi/2)t} tem período fundamental 4. Portanto o sinal dado é periódico e seu período fundamental é 4.

Resposta

Periódico, período fundamental T=4

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