Convolução. Resolva as convoluções e as convoluções inversas
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s-1)(s+4)}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s-1)(s+4)}\right\}.
Informações dadas e objetivo claro:
  • A expressão em s é \dfrac{1}{(s-1)(s+4)}.
  • Queremos encontrar a função do tempo f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=\dfrac{1}{(s-1)(s+4)}.
  • Vou resolver mostrando duas abordagens: (A) usando o Teorema da Convolução (inversão por convolução) e (B) usando frações parciais (método direto). Isso serve para aprender a usar convolução na prática e também conferir o resultado.

Passo 2

Lembrete rápido (fórmula e ideia que vou usar):
  • Definição prática: a transformada de Laplace de e^{at} é
\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a},
para valores de s com \operatorname{Re}(s)>a.
  • Teorema da Convolução (importante): se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} e G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}, então
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\,G(s)\}= (f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
Ou seja, produto no domínio s vira convolução no domínio do tempo.
  • Todos os passos abaixo aplicam-se para t\ge 0. Vou assumir funções causal (zero para t<0), que é o caso padrão em transformadas de Laplace.

Passo 3

Identificar os fatores e suas inversas:
  • A expressão pode ser vista como produto
\frac{1}{(s-1)(s+4)}=\frac{1}{s-1}\cdot\frac{1}{s+4}.
  • Pelo fato conhecido, a inversa de cada fator é
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-1}\right\}=e^{t}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+4}\right\}=e^{-4t}.
Explicação curta: a fórmula \mathcal{L}\{e^{at}\}=1/(s-a) dá imediatamente essas duas inversas (com a=1 e a=-4).

Passo 4

Aplicar o Teorema da Convolução: montar o integral de convolução entre f(t)=e^{t} e g(t)=e^{-4t}:
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} e^{\tau}\cdot e^{-4(t-\tau)}\,d\tau.
Vou calcular esse integral passo a passo.

Passo 5

Calcular o integrando e simplificar exponenciais:
e^{\tau}\cdot e^{-4(t-\tau)} = e^{\tau}\cdot e^{-4t+4\tau} = e^{-4t}\,e^{5\tau}.
Portanto o integral fica
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} e^{-4t}\,e^{5\tau}\,d\tau = e^{-4t}\int_{0}^{t} e^{5\tau}\,d\tau.

Passo 6

Resolver a integral exponencial:
  • A primitiva de e^{5\tau} é \dfrac{1}{5}e^{5\tau}.
  • Avaliando de 0 a t obtemos
\int_{0}^{t} e^{5\tau}\,d\tau = \left.\frac{1}{5}e^{5\tau}\right|_{0}^{t} = \frac{1}{5}\bigl(e^{5t}-1\bigr).
  • Logo
(f*g)(t)= e^{-4t}\cdot\frac{1}{5}\bigl(e^{5t}-1\bigr) = \frac{1}{5}\bigl(e^{t}-e^{-4t}\bigr).

Passo 7

Interpretação: pelo Teorema da Convolução acabamos de obter
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s-1)(s+4)}\right\} = \frac{1}{5}\bigl(e^{t}-e^{-4t}\bigr).
Isso vale para t\ge 0. Agora faço uma verificação alternativa por frações parciais para consolidar o raciocínio.

Passo 8

Verificação por frações parciais (método clássico):
  • Procuramos A e B tais que
\frac{1}{(s-1)(s+4)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+4}.
Multiplicando por (s-1)(s+4) obtemos
1=A(s+4)+B(s-1).
Equacionando coeficientes: do termo em s vem A+B=0, e do termo constante vem 4A-B=1.
  • Da primeira equação B=-A. Substituindo na segunda:
4A-(-A)=5A=1 \implies A=\frac{1}{5},\quad B=-\frac{1}{5}.
  • Então
\frac{1}{(s-1)(s+4)}=\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{s-1}-\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{s+4}.
Aplicando inversa de Laplace termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\{\cdot\}=\frac{1}{5}e^{t}-\frac{1}{5}e^{-4t}=\frac{1}{5}\bigl(e^{t}-e^{-4t}\bigr),
o que confirma o resultado obtido pela convolução.

Resposta

\dfrac{1}{5}\bigl(e^{t}-e^{-4t}\bigr)