Uma cooperativa agroindustrial no Paraná exporta grãos de café em lotes empilhados. A balança do porto tem uma tolerância máxima estrita de aceitação de +/- 12 kg por palete. Sabendo que cada palete é montado rigorosamente com 36 sacos idênticos e independentes, qual
deve ser a tolerância máxima do peso individual de cada saco que o engenheiro de produção deve exigir ao setor de ensacamento?
deve ser a tolerância máxima do peso individual de cada saco que o engenheiro de produção deve exigir ao setor de ensacamento?
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (resumo claro, sem resolver ainda):
- Tolerância máxima de aceitação por palete:
. - Cada palete é formado por
sacos idênticos, independentes entre si. - Pergunta: qual deve ser a tolerância máxima do peso individual de cada saco que o engenheiro deve exigir ao setor de ensacamento?
Passo 2
Escolha do que entendemos por “tolerância” e argumento do método.
- Como os sacos são descritos como “idênticos e independentes”, faz sentido modelar as variações de peso como variáveis aleatórias independentes com mesma dispersão (mesma variância).
- Há duas interpretações possíveis (vou explicá‑las e escolher a mais apropriada):
- Interpretação conservadora (pior caso determinístico): exigir que o desvio máximo de cada saco seja tal que, se todos os
sacos estiverem no mesmo sentido (todos acima ou todos abaixo do peso alvo), a soma não ultrapasse . Nesse caso soma linear de tolerâncias. - Interpretação probabilística (mais usada em controle de processo): tratar as flutuações de cada saco como erros aleatórios independentes; então a variância da soma é soma das variâncias (erro quadrático médio compõe em raiz da soma das variâncias).
- Interpretação conservadora (pior caso determinístico): exigir que o desvio máximo de cada saco seja tal que, se todos os
- Vou usar a interpretação probabilística (adição de variâncias) porque a independência e a natureza da produção justificam modelar as variações como aleatórias — isso evita exigir uma tolerância excessivamente rígida baseada num caso extremo onde todos os sacos errassem no mesmo sentido. Mais adiante mostro também o cálculo pelo pior caso para comparação.
Passo 3
Modelagem matemática (variância e desvio-padrão).
- Seja
a variação (desvio em kg) do peso do -ésimo saco em relação ao peso nominal. Assumimos que as são independentes, idênticas, com média (meta centrada) e variância . Aqui é o desvio-padrão do peso de um saco (a “tolerância” que vamos determinar). - A variação total do palete é a soma
- Como variâncias de variáveis independentes somam, vale
- O desvio-padrão do palete é
Passo 4
Imposição da tolerância do palete ao nível das variâncias.
- A balança aceita até
por palete. Pelo critério que escolhemos (controle pela dispersão), exige‑se que a dispersão típica do palete não ultrapasse . Isso se traduz em
- Da desigualdade obtemos
- Conclusão: o desvio-padrão máximo (tolerância, no sentido estatístico) do peso de cada saco deve ser
.
Passo 5
Interpretação prática e comparação com o pior caso.
- Interpretando
: isso significa que a variação típica (desvio-padrão) do peso de um saco é ; então o desvio-padrão do palete fica . Em termos de probabilidade, cerca de dos paletes estarão dentro de (um desvio-padrão), cerca de dentro de (dois desvios‑padrão), etc. Se quiser uma garantia probabilística mais forte (por ex. que ~95% dos paletes fiquem dentro de ), será necessário exigir um menor (dividir por o fator correspondente). - Pelo critério determinístico de pior caso (se todos os sacos errassem no mesmo sentido), a tolerância por saco teria que satisfazer
, ou seja
o que é muito mais restritivo. Esse critério é conservador e normalmente impraticável se as variações são devidas a processos aleatórios independentes.
Passo 6
Recomendação final ao engenheiro (curta e motivadora)
- Se o objetivo for controlar a dispersão típica do processo (critério usual em ensacamento), exigir que o desvio-padrão do peso de cada saco seja no máximo
. - Se for necessário garantir por segurança o pior caso absoluto (todos os sacos errando no mesmo sentido), então o limite por saco seria
, mas isso normalmente é excessivamente rígido.