Uma cooperativa agroindustrial no Paraná exporta grãos de café em lotes empilhados. A balança do porto tem uma tolerância máxima estrita de aceitação de +/- 12 kg por palete. Sabendo que cada palete é montado rigorosamente com 36 sacos idênticos e independentes, qual
deve ser a tolerância máxima do peso individual de cada saco que o engenheiro de produção deve exigir ao setor de ensacamento?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (resumo claro, sem resolver ainda):
  • Tolerância máxima de aceitação por palete: \pm 12\\ \text{kg}.
  • Cada palete é formado por 36 sacos idênticos, independentes entre si.
  • Pergunta: qual deve ser a tolerância máxima do peso individual de cada saco que o engenheiro deve exigir ao setor de ensacamento?

Passo 2

Escolha do que entendemos por “tolerância” e argumento do método.
  • Como os sacos são descritos como “idênticos e independentes”, faz sentido modelar as variações de peso como variáveis aleatórias independentes com mesma dispersão (mesma variância).
  • Há duas interpretações possíveis (vou explicá‑las e escolher a mais apropriada):
    1. Interpretação conservadora (pior caso determinístico): exigir que o desvio máximo de cada saco seja tal que, se todos os 36 sacos estiverem no mesmo sentido (todos acima ou todos abaixo do peso alvo), a soma não ultrapasse \pm 12\\ \text{kg}. Nesse caso soma linear de tolerâncias.
    2. Interpretação probabilística (mais usada em controle de processo): tratar as flutuações de cada saco como erros aleatórios independentes; então a variância da soma é soma das variâncias (erro quadrático médio compõe em raiz da soma das variâncias).
  • Vou usar a interpretação probabilística (adição de variâncias) porque a independência e a natureza da produção justificam modelar as variações como aleatórias — isso evita exigir uma tolerância excessivamente rígida baseada num caso extremo onde todos os sacos errassem no mesmo sentido. Mais adiante mostro também o cálculo pelo pior caso para comparação.

Passo 3

Modelagem matemática (variância e desvio-padrão).
  • Seja X_i a variação (desvio em kg) do peso do i-ésimo saco em relação ao peso nominal. Assumimos que as X_i são independentes, idênticas, com média \mathbb{E}[X_i]=0 (meta centrada) e variância \operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2. Aqui \sigma é o desvio-padrão do peso de um saco (a “tolerância” que vamos determinar).
  • A variação total do palete é a soma
S=\sum_{i=1}^{36} X_i.
  • Como variâncias de variáveis independentes somam, vale
\operatorname{Var}(S)=\sum_{i=1}^{36}\operatorname{Var}(X_i)=36\sigma^2.
  • O desvio-padrão do palete é
\operatorname{sd}(S)=\sqrt{\operatorname{Var}(S)}=\sqrt{36\sigma^2}=6\sigma.

Passo 4

Imposição da tolerância do palete ao nível das variâncias.
  • A balança aceita até \pm 12\\ \text{kg} por palete. Pelo critério que escolhemos (controle pela dispersão), exige‑se que a dispersão típica do palete não ultrapasse 12\\ \text{kg}. Isso se traduz em
6\sigma \le 12\\ \text{kg}.
  • Da desigualdade obtemos
\sigma \le \frac{12}{6}=2\\ \text{kg}.
  • Conclusão: o desvio-padrão máximo (tolerância, no sentido estatístico) do peso de cada saco deve ser 2\\ \text{kg}.

Passo 5

Interpretação prática e comparação com o pior caso.
  • Interpretando \sigma=2\\ \text{kg}: isso significa que a variação típica (desvio-padrão) do peso de um saco é 2\\ \text{kg}; então o desvio-padrão do palete fica 6\cdot2=12\\ \text{kg}. Em termos de probabilidade, cerca de 68\% dos paletes estarão dentro de \pm 12\\ \text{kg} (um desvio-padrão), cerca de 95\% dentro de \pm 24\\ \text{kg} (dois desvios‑padrão), etc. Se quiser uma garantia probabilística mais forte (por ex. que ~95% dos paletes fiquem dentro de \pm 12\\ \text{kg}), será necessário exigir um \sigma menor (dividir por o fator correspondente).
  • Pelo critério determinístico de pior caso (se todos os sacos errassem no mesmo sentido), a tolerância por saco teria que satisfazer 36\cdot t \le 12, ou seja
t \le \frac{12}{36}=\frac{1}{3}\\ \text{kg}\approx 0,333\\ \text{kg},
o que é muito mais restritivo. Esse critério é conservador e normalmente impraticável se as variações são devidas a processos aleatórios independentes.

Passo 6

Recomendação final ao engenheiro (curta e motivadora)
  • Se o objetivo for controlar a dispersão típica do processo (critério usual em ensacamento), exigir que o desvio-padrão do peso de cada saco seja no máximo \sigma=2\\ \text{kg}.
  • Se for necessário garantir por segurança o pior caso absoluto (todos os sacos errando no mesmo sentido), então o limite por saco seria \approx 0,333\\ \text{kg}, mas isso normalmente é excessivamente rígido.

Resposta

\sigma_{\text{saco}} = 2\\ \text{kg}

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