Uma cooperativa de crédito deseja estimar o valor médio dos empréstimos rurais. Uma amostra aleatória de 25 contratos revelou uma média de
45.000,00
\mathrm{R} $10.000,00
95 %
\mu$.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
- Tamanho da amostra:
. - Média amostral:
. - Desvio-padrão amostral:
. - Suposição: os valores seguem distribuição normal.
O que é pedido: construir o intervalo de confiança depara o parâmetro (a média verdadeira dos empréstimos).
Passo 2
Conceito e fórmula geral (explicação didática):
Quando a população é normal e a variância populacional é desconhecida (aqui só temos ), a estatística padronizada
Quando a população é normal e a variância populacional é desconhecida (aqui só temos
tem distribuição de Student com
graus de liberdade. Isso nos leva ao intervalo de confiança bilateral para
:
onde:
-
é a média amostral (a estimativa pontual de ); -
é o desvio-padrão amostral; -
é o tamanho da amostra; -
é o nível de significância ( para um IC de ); -
é o quantil superior da distribuição com graus de liberdade, tal que a área à direita é .
Intuição rápida: a largura do intervalo escala com o erro padrãoe com o fator que reflete incerteza extra por usarmos em vez da verdadeira.
Passo 3
Identificar os parâmetros numéricos a substituir:
- Nível de confiança
. - Graus de liberdade:
. - Buscar na tabela
o valor crítico . Pela tabela de Student (ou calculadora), obtemos
Passo 4
Calcular o erro padrão e a margem de erro (passo a passo, contas simples que dá para fazer sem calculadora científica se quiser):
- Erro padrão da média:
- Margem de erro:
Passo 5
Expressar as fronteiras do intervalo em função da média e da margem de erro (fórmula final numérica, preparação para a resposta):