Uma cooperativa de crédito deseja estimar o valor médio dos empréstimos rurais. Uma amostra aleatória de 25 contratos revelou uma média de \mathrm{R} \ 45.000,00 com desvio padrão deã\mathrm{R} $10.000,00 . Assumindo que os valores seguem uma distribuição normal, construa o IC deçã95 % para\mu$.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
  • Tamanho da amostra: n=25.
  • Média amostral: \bar X = \mathrm{R}\$\,45.000{,}00.
  • Desvio-padrão amostral: s=\mathrm{R}\$\,10.000{,}00.
  • Suposição: os valores seguem distribuição normal.
    O que é pedido: construir o intervalo de confiança de 95\% para o parâmetro \mu (a média verdadeira dos empréstimos).

Passo 2

Conceito e fórmula geral (explicação didática):
Quando a população é normal e a variância populacional é desconhecida (aqui só temos s), a estatística padronizada
\frac{\bar X-\mu}{\dfrac{s}{\sqrt{n}}}
tem distribuição de Student com n-1 graus de liberdade. Isso nos leva ao intervalo de confiança bilateral para \mu:
\bar X \pm t_{\alpha/2,\;n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar X é a média amostral (a estimativa pontual de \mu);
  • s é o desvio-padrão amostral;
  • n é o tamanho da amostra;
  • \alpha é o nível de significância ( \alpha=1-0{,}95=0{,}05 para um IC de 95\%);
  • t_{\alpha/2,\;n-1} é o quantil superior da distribuição t com n-1 graus de liberdade, tal que a área à direita é \alpha/2.
    Intuição rápida: a largura do intervalo escala com o erro padrão \dfrac{s}{\sqrt{n}} e com o fator t que reflete incerteza extra por usarmos s em vez da \sigma verdadeira.

Passo 3

Identificar os parâmetros numéricos a substituir:
  • Nível de confiança 95\%\Rightarrow \alpha=0{,}05\Rightarrow \alpha/2=0{,}025.
  • Graus de liberdade: n-1=25-1=24.
  • Buscar na tabela t o valor crítico t_{0{,}025,\;24}. Pela tabela de Student (ou calculadora), obtemos
t_{0{,}025,\;24}\approx 2{,}0639.

Passo 4

Calcular o erro padrão e a margem de erro (passo a passo, contas simples que dá para fazer sem calculadora científica se quiser):
  • Erro padrão da média:
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{\mathrm{R}\$\,10.000{,}00}{\sqrt{25}}=\frac{\mathrm{R}\$\,10.000{,}00}{5}=\mathrm{R}\$\,2.000{,}00.
  • Margem de erro:
\text{ME}=t_{0{,}025,\;24}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\approx 2{,}0639\cdot\mathrm{R}\$\,2.000{,}00=\mathrm{R}\$\,4.127{,}80.

Passo 5

Expressar as fronteiras do intervalo em função da média e da margem de erro (fórmula final numérica, preparação para a resposta):
\text{limite inferior}=\bar X-\text{ME}=\mathrm{R}\$\,45.000{,}00-\mathrm{R}\$\,4.127{,}80,
\text{limite superior}=\bar X+\text{ME}=\mathrm{R}\$\,45.000{,}00+\mathrm{R}\$\,4.127{,}80.

Resposta

\mathrm{IC}_{95\%}(\mu)=\bigl(\mathrm{R}\$\,40.872{,}20,\;\mathrm{R}\$\,49.127{,}80\bigr)

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