O coração bombeia sangue com uma vazão média de 5 \mathrm{~L} / \mathrm{min}. A pressão relativa no lado venoso (entrada) é 0 mm Hg e no lado arterial (saída) é 100 mm Hg . A energia é fornecida ao coração na forma de calor liberado pela absorção de oxigênio nos músculos cardíacos: 5 mL (CNTP) \mathrm{O}_{2} / \mathrm{min} são absorvidos, e 20,2 \mathrm{~kJ} são liberados por mL de \mathrm{O}_{2} absorvido. Parte desta energia absorvida é convertida em trabalho de fluxo (o trabalho feito para bombear o sangue através do sistema circulatório) e o resto é perdido como calor transferido ao tecido que rodeia o coração.
(a) Simplifique a Equação 7.4-12 para este sistema, admitindo (entre outras coisas) que não há mudanças na energia interna entre a entrada e a saída.
Eq. 7.4.12: \sum_{\text {de saída }} \dot{m}_{j}\left[\widehat{U}_{j}+P_{j} \widehat{V}_{j}+\frac{u_{j}^{2}}{2}+g z_{j}\right]-\sum_{\text {de entrada }} \dot{m}_{j}\left[\widehat{U}_{j}+P_{j} \widehat{V}_{j}+\frac{u_{j}^{2}}{2}+g z_{j}\right]=í \dot{Q}-\dot{W}_{s}
(b) Qual porcentagem do calor fornecido ao coração ( \mathrm{Q}_{\text {entrada }} ) é convertido em trabalho de fluxo? (A resposta pode ser encarada como uma medida da eficiência do coração como uma bomba.)

Passo 1

O enunciado descreve um sistema de escoamento estacionário onde o coração bombeia sangue à vazão média \dot V=5\\ \mathrm{L/min} do lado venoso P_{\text{in}}=0\\ \mathrm{mmHg} para o lado arterial P_{\text{out}}=100\\ \mathrm{mmHg}. A energia química é fornecida pela oxidação de \mathrm{O}_2: \dot V_{O_2}=5\\ \mathrm{mL/min} a CNTP, com liberação de 20{,}2\\ \mathrm{kJ/mL}.
Conteúdo: aplicação da equação de energia para um sistema de fluxo estacionário, desprezando variações de energia interna, cinética e potencial.

Passo 2

Escrevendo a Eq. 7.4-12 para um único escoamento de entrada e saída, temos
\sum_{\text{saída}}\dot m_j\Bigl[\widehat U_j+P_j\widehat V_j+\tfrac{u_j^2}{2}+g z_j\Bigr] -\sum_{\text{entrada}}\dot m_j\Bigl[\widehat U_j+P_j\widehat V_j+\tfrac{u_j^2}{2}+g z_j\Bigr] =\dot Q-\dot W_sí
Assumindo \Delta\widehat U=0, \Delta(u^2/2)=0 e \Delta(gz)=0, sobra apenas o trabalho de fluxo:
\dot m\bigl(P_{\text{out}}\widehat V - P_{\text{in}}\widehat V\bigr) = \dot Q - \dot W_s
e, como \dot m\,\widehat V=\dot V,
(P_{\text{out}}-P_{\text{in}})\,\dot V = \dot Q - \dot W_s
Rearranjando, a forma simplificada é
\boxed{\dot W_s = \dot Q - (P_{\text{out}}-P_{\text{in}})\,\dot V.}

Passo 3

O trabalho de fluxo produzido pelo coração é
\dot W_{\text{flow}} = (P_{\text{out}}-P_{\text{in}})\,\dot V.
Convertendo unidades: \dot V=5\\ \mathrm{L/min}=5\times10^{-3}/60\\ \mathrm{m^3/s}=8{,}33\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3/s}
P_{\text{out}}-P_{\text{in}} =100\\ \mathrm{mmHg}\times133{,}322\\ \mathrm{Pa/mmHg}=1{,}3332\times10^4\\ \mathrm{Pa}
Logo
\dot W_{\text{flow}} =1{,}3332\times10^4\;\mathrm{Pa}\times8{,}33\times10^{-5}\;\mathrm{m^3/s} \approx1{,}11\\ \mathrm{J/s}.

Passo 4

A taxa de calor fornecida ao coração é dada pela oxidação de \mathrm{O}_2:
\dot Q =5\\ \mathrm{mL/min}\times20{,}2\\ \mathrm{kJ/mL} =101\\ \mathrm{kJ/min} =\frac{101\times10^3}{60}\\ \mathrm{J/s} \approx1{,}683\\ \mathrm{J/s}.

Passo 5

A eficiência como bomba, ou fração do calor convertido em trabalho de fluxo, é
\eta =\frac{\dot W_{\text{flow}}}{\dot Q} =\frac{1{,}11}{1{,}683}\approx6{,}6\times10^{-2}\% \approx0{,}07\%.

Resposta

(a) \displaystyle \dot W_s = \dot Q - (P_{\text{out}}-P_{\text{in}})\,\dot V.
(b) Aproximadamente 0{,}07\% do calor de entrada é convertido em trabalho de fluxo.

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