Uma corda de 4 m de comprimento está fixa numa extremidade e presa a uma outra corda leve, na outra extremidade, de modo que aí pode oscilar livremente. A velocidade das ondas na corda é
. Achar a frequiência (a) do modo fundamental, (b) do primeiro harmônico e © do segundo harmônico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma corda de 4 metros de comprimento fixa em uma ponta e presa a outra corda leve que pode oscilar livremente. A velocidade das ondas nessa corda é de 20 metros por segundo. O objetivo aqui é encontrar as frequências de três modos diferentes de vibração: o modo fundamental, o primeiro harmônico e o segundo harmônico. Para isso, vamos usar alguns conceitos de ondas estacionárias em cordas fixas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a frequência das ondas estacionárias em uma corda fixa depende do comprimento da corda, da velocidade da onda e do modo de vibração. A fórmula que vamos usar é:
Onde:
-
é a frequência do n-ésimo modo, -
é a velocidade da onda, -
é o comprimento da corda, -
é o número do modo (1 para o fundamental, 2 para o primeiro harmônico, etc.).
Passo 3
Vamos calcular a frequência do modo fundamental, que é quando
. Substituindo na fórmula:
Então, a frequência do modo fundamental é 2,5 Hz.
Passo 4
Agora, vamos para o primeiro harmônico, que corresponde a
. Aplicando os valores na fórmula:
Portanto, a frequência do primeiro harmônico é 5 Hz.
Passo 5
Por fim, vamos calcular a frequência do segundo harmônico, com
:
Assim, a frequência do segundo harmônico é 7,5 Hz.
Resposta
(a) Modo fundamental:
(b) Primeiro harmônico:
© Segundo harmônico:
(b) Primeiro harmônico:
© Segundo harmônico: