Ex. 1 - Uma corda que está esticada entre suportes fixos separados por uma distância de 75 cm apresenta frequências de ressonância de 420 e 315 Hz , com nenhuma outra frequência de ressonância entre os dois valores. Determine qual é o modo normal de vibração das frequências mencionadas e quantos nós elas possuem?
Passo 1
Beleza, então o exercício diz que temos uma corda presa fixa entre dois suportes a uma distância de 75 cm e que ela vibra com duas frequências de ressonância: 315 Hz e 420 Hz, sem ter nenhuma outra frequência entre essas duas.
Conteúdo: modos normais de vibração em cordas fixas.
O que vamos precisar:
Conteúdo: modos normais de vibração em cordas fixas.
O que vamos precisar:
- Saber que as frequências de vibração de uma corda fixa nas duas extremidades formam uma série de harmônicos, dados por
onde
é o número do modo (número do harmônico),
é a velocidade da onda na corda e
é o comprimento da corda.
2) Entender que, como e
são fixos, as frequências ficam proporcionais a
:
.
2) Entender que, como
Passo 2
Primeiro, vamos usar o fato de que as ressonâncias da corda formam uma sequência de harmônicos inteiros:
onde
é a frequência fundamental. Se duas ressonâncias são
e
, então
sendo
e
os números dos modos correspondentes. No nosso caso,
Hz e
Hz.
Passo 3
Calcula o quociente:
Isso significa que
Os únicos inteiros positivos que satisfazem isso (sem pular nenhum harmônico entre 315 Hz e 420 Hz) são
e
. Logo:
- 315 Hz é o 3º modo (terceiro harmônico).
- 420 Hz é o 4º modo (quarto harmônico).
Passo 4
Agora, quantos nós cada modo tem? Numa corda fixa nas duas extremidades, todo modo
tem
nós (contando as duas extremidades).
- Para
(315 Hz): nós = . - Para
(420 Hz): nós = .
Resposta
315 Hz é o modo normal de número 3 e tem 4 nós;
420 Hz é o modo normal de número 4 e tem 5 nós.
420 Hz é o modo normal de número 4 e tem 5 nós.