Ex. 1 - Uma corda que está esticada entre suportes fixos separados por uma distância de 75 cm apresenta frequências de ressonância de 420 e 315 Hz , com nenhuma outra frequência de ressonância entre os dois valores. Determine qual é o modo normal de vibração das frequências mencionadas e quantos nós elas possuem?

Passo 1

Beleza, então o exercício diz que temos uma corda presa fixa entre dois suportes a uma distância de 75 cm e que ela vibra com duas frequências de ressonância: 315 Hz e 420 Hz, sem ter nenhuma outra frequência entre essas duas.
Conteúdo: modos normais de vibração em cordas fixas.
O que vamos precisar:
  1. Saber que as frequências de vibração de uma corda fixa nas duas extremidades formam uma série de harmônicos, dados por
fn = n , v2L,
onde é o número do modo (número do harmônico), é a velocidade da onda na corda e é o comprimento da corda.
2) Entender que, como e são fixos, as frequências ficam proporcionais a : .

Passo 2

Primeiro, vamos usar o fato de que as ressonâncias da corda formam uma sequência de harmônicos inteiros:
fn = n f1,
onde fbfa = mk, é a frequência fundamental. Se duas ressonâncias são e , então
sendo e os números dos modos correspondentes. No nosso caso, Hz e Hz.

Passo 3

Calcula o quociente:
420315 = 4231.5 = 43
Isso significa que
mk = 43
Os únicos inteiros positivos que satisfazem isso (sem pular nenhum harmônico entre 315 Hz e 420 Hz) são e . Logo:
  • 315 Hz é o 3º modo (terceiro harmônico).
  • 420 Hz é o 4º modo (quarto harmônico).

Passo 4

Agora, quantos nós cada modo tem? Numa corda fixa nas duas extremidades, todo modo tem nós (contando as duas extremidades).
  • Para (315 Hz): nós = .
  • Para (420 Hz): nós = .

Resposta

315 Hz é o modo normal de número 3 e tem 4 nós;
420 Hz é o modo normal de número 4 e tem 5 nós.

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