Uma corda na qual ondas podem se propagar tem 2,99 \mathrm{~m} de comprimento e 273 g de massa. A tensão da corda é 36,6 \mathrm{~N}. Qual deve ser a frequência (em Hz) de ondas progressivas com uma amplitude de 9,36 \mathrm{~mm} para que a potência média seja 82,2 \mathrm{~W} ?
(a) 161,3
(b) 195,9
(c) 229,6
(d) 249,1
(e) 292,9

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente os valores fornecidos):
  • Comprimento da corda: L = 2,99\\ \text{m}.
  • Massa da corda: m = 0,273\\ \text{kg} (converti 273\\ \text{g} para kg).
  • Tensão na corda: T = 36,6\\ \text{N}.
  • Amplitude da onda: A = 9,36\\ \text{mm} = 0,00936\\ \text{m}.
  • Potência média transmitida pela onda: P_{\text{média}} = 82,2\\ \text{W}é.
O que o problema pede:
  • Determinar a frequência (em Hz) das ondas progressivas que, com a amplitude dada, produzem a potência média 82,2\\ \text{W}.
  • É uma questão de múltipla escolha com alternativas: (a) 161,3, (b) 195,9, (c) 229,6, (d) 249,1, (e) 292,9.

Passo 2

Vamos entender e apresentar a fórmula que relaciona potência média, amplitude e frequência para uma onda transversal senoidal numa corda.
A forma de uma onda transversal senoidal que se propaga para a direita pode ser escrita como
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t),
onde:
  • A é a amplitude (m),
  • k é o número de onda (rad/m),
  • \omega é a frequência angular (rad/s),
  • a frequência f está relacionada com \omega por \omega=2\pi f.
A potência instantânea que atravessa uma seção da corda em x é dada por
P(t) = -T\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial t},
onde T é a tensão da corda. Para a onda senoidal acima temos
\frac{\partial y}{\partial x}=kA\cos(kx-\omega t), \qquad \frac{\partial y}{\partial t}=-\omega A\cos(kx-\omega t).
Multiplicando e substituindo em P(t) obtemos
P(t)=T\;k\omega A^2\cos^2(kx-\omega t).
A potência média sobre um ciclo usa \langle \cos^2\rangle = \tfrac{1}{2}, portanto
P_{\text{média}}=\tfrac{1}{2}T\,k\omega A^2.é
Como k=\dfrac{\omega}{v}, onde v é a velocidade de propagação da onda, temos
P_{\text{média}}=\tfrac{1}{2}T\frac{\omega}{v}\omega A^2=\tfrac{1}{2}T\frac{\omega^2 A^2}{v}.é
Também podemos usar v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}, onde \mu é a massa por unidade de comprimento da corda:
\mu=\frac{m}{L}.
Substituindo v obtém-se uma forma conveniente
P_{\text{média}}=\tfrac{1}{2}\,\omega^2 A^2\sqrt{\mu T}.é
Essa última forma é prática porque elimina v e envolve apenas \mu, T, A e \omega. Como \omega=2\pi f, podemos resolver para f.

Passo 3

Calcular \mu (massa por unidade de comprimento) e preparar as quantidades numéricas.
\mu=\frac{m}{L}=\frac{0,273}{2,99}\\ \mathrm{kg/m}\approx 0,091305\\ \mathrm{kg/m}.
Calcular A^2:
A^2=(0,00936)^2=0,0000876096\\ \mathrm{m}^2.
Calcular \sqrt{\mu T} (aparece na fórmula):
\mu T = 0,091305\cdot 36,6 \approx 3,34176, \qquad \sqrt{\mu T}\approx 1,8279\\ \mathrm{(kg^{1/2}\,m^{-1/2}\,N^{1/2})}.

Passo 4

Usar a fórmula obtida para achar \omega e então f. Da expressão
P_{\text{média}}=\tfrac{1}{2}\,\omega^2 A^2\sqrt{\mu T},é
isolamos \omega^2:
\omega^2=\frac{2P_{\text{média}}}{A^2\sqrt{\mu T}}.é
Substituindo os valores numéricos:
\omega^2=\frac{2\cdot 82,2}{0,0000876096\cdot 1,8279} =\frac{164,4}{0,000160139}\approx 1{,}0267\times 10^{6}\\ \mathrm{rad^2/s^2}.
Logo
\omega\approx 1{,}0133\times 10^{3}\\ \mathrm{rad/s}.
E a frequência f é
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1{,}0133\times 10^{3}}{2\pi}\approx 161{,}3\\ \text{Hz}.

Passo 5

Interpretação final: a frequência necessária para que a potência média seja 82,2\\ \text{W} com a amplitude dada é aproximadamente 161{,}3\\ \text{Hz}, que corresponde à alternativa (a). Vai dar tudo certo na prova — respira fundo e confia no passo a passo.

Resposta

(a) 161,3\\ \text{Hz}