Uma corda presa por um lado em um prego e por outro em uma argola, que pode deslizar sem atrito num fio de forma que esta ponta é livre para oscilar, tem comprimento 3,1 \mathrm{~m}. Uma segunda corda, com a mesma densidade linear e sob a mesma tensão que a primeira corda, é presa por dois pregos. Qual é o menor tamanho (em \mathbf{m} ) da segunda corda que pode oscilar com a mesma frequência do quinto harmônico da primeira corda? [Responda usando 3 casas depois da vírgula.

Passo 1

Dados do enunciado:
  • Comprimento da primeira corda: \,L_1=3,1\\ \mathrm{m}.
  • A primeira corda está presa por um lado num prego e pelo outro numa argola que desliza sem atrito, ou seja, uma extremidade fixa e a outra livre para oscilar (extremidade livre).
  • A segunda corda tem a mesma densidade linear e está sob a mesma tensão da primeira corda; ela está presa por dois pregos (duas extremidades fixas).
  • Pergunta: qual é o menor comprimento da segunda corda (em \mathrm{m}) que pode oscilar com a mesma frequência do quinto harmônico da primeira corda?

Passo 2

Conceito importante (velocidade de propagação): a velocidade de onda numa corda é
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde T é a tensão e \mu é a densidade linear (massa por comprimento). Aqui o enunciado diz que a segunda corda tem a mesma tensão e a mesma densidade linear da primeira, logo ambas têm a mesma velocidade de onda v. Vou chamar essa velocidade de v sem precisar conhecer T ou \mu.

Passo 3

Frequências para uma corda com uma extremidade fixa e outra livre (fixo-livre): os modos próprios têm um nó na extremidade fixa e um ventre (antínodo) na extremidade livre. Os comprimentos de onda permitidos são os das “meias/quarters” ímpares, dado por
\lambda_k=\frac{4L}{2k-1},\quad k=1,2,3,\ldots,
onde L é o comprimento da corda e k enumera os harmônicos (o caso k=1 é o fundamental). A frequência do k-ésimo harmônico é
f_k=\frac{v}{\lambda_k}=\frac{(2k-1)\,v}{4L}.
Explicando as variáveis: f_k é a frequência do modo k, v é a velocidade de onda na corda, L é o comprimento da corda. Exemplo rápido: o primeiro harmônico ( k=1) tem f_1=v/(4L).

Passo 4

Aplicando isso à primeira corda ( L=L_1), a frequência do quinto harmônico ( k=5) é
f_{5}^{(1)}=\frac{(2\cdot 5-1)\,v}{4L_1}=\frac{9\,v}{4L_1}.
Aqui usei L_1=3,1\\ \mathrm{m} apenas como dado; mantenho v simbólico porque ele cancela depois.

Passo 5

Frequências para uma corda presa em ambas as extremidades (fixo-fixo): os modos são senos inteiros e os comprimentos de onda são
\lambda_n=\frac{2L}{n},\quad n=1,2,3,\ldots,
e as frequências são
f_n=\frac{v}{\lambda_n}=\frac{n\,v}{2L},
onde L é agora o comprimento da segunda corda ( L_2) e n é o número do harmônico (modo). Exemplo: o primeiro harmônico tem f_1=v/(2L).

Passo 6

Queremos que algum harmônico n da segunda corda tenha a mesma frequência do quinto harmônico da primeira corda. Igualando:
\frac{n\,v}{2L_2}=\frac{9\,v}{4L_1}.
Cancelando v dos dois lados e isolando L_2
L_2=\frac{2nL_1}{9}.
Essa é a expressão do comprimento da segunda corda que torna o seu n-ésimo harmônico igual ao 5-ésimo da primeira.

Passo 7

Procuramos o menor comprimento positivo possível: como n deve ser um inteiro positivo ( n=1,2,\ldots), o menor valor é obtido com n=1. Substituindo n=1 e L_1=3,1\\ \mathrm{m}:
L_{2,\min}=\frac{2\cdot 1\cdot 3,1}{9}=\frac{6,2}{9}=0,688888\ldots\\ \mathrm{m}.
Arredondando para três casas decimais (conforme pedido) temos 0,689\\ \mathrm{m}.

Resposta

0,689\\ \mathrm{m}

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