Uma corda presa por um lado em um prego e por outro em uma argola, que pode deslizar sem atrito num fio de forma que esta ponta é livre para oscilar, tem comprimento
. Uma segunda corda, com a mesma densidade linear e sob a mesma tensão que a primeira corda, é presa por dois pregos. Qual é o menor tamanho (em
) da segunda corda que pode oscilar com a mesma frequência do quinto harmônico da primeira corda? [Responda usando 3 casas depois da vírgula.
Passo 1
Dados do enunciado:
- Comprimento da primeira corda:
. - A primeira corda está presa por um lado num prego e pelo outro numa argola que desliza sem atrito, ou seja, uma extremidade fixa e a outra livre para oscilar (extremidade livre).
- A segunda corda tem a mesma densidade linear e está sob a mesma tensão da primeira corda; ela está presa por dois pregos (duas extremidades fixas).
- Pergunta: qual é o menor comprimento da segunda corda (em
) que pode oscilar com a mesma frequência do quinto harmônico da primeira corda?
Passo 2
Conceito importante (velocidade de propagação): a velocidade de onda numa corda é
onde
é a tensão e
é a densidade linear (massa por comprimento). Aqui o enunciado diz que a segunda corda tem a mesma tensão e a mesma densidade linear da primeira, logo ambas têm a mesma velocidade de onda
. Vou chamar essa velocidade de
sem precisar conhecer
ou
.
Passo 3
Frequências para uma corda com uma extremidade fixa e outra livre (fixo-livre): os modos próprios têm um nó na extremidade fixa e um ventre (antínodo) na extremidade livre. Os comprimentos de onda permitidos são os das “meias/quarters” ímpares, dado por
onde
é o comprimento da corda e
enumera os harmônicos (o caso
é o fundamental). A frequência do
-ésimo harmônico é
Explicando as variáveis:
é a frequência do modo
,
é a velocidade de onda na corda,
é o comprimento da corda. Exemplo rápido: o primeiro harmônico (
) tem
.
Passo 4
Aplicando isso à primeira corda (
), a frequência do quinto harmônico (
) é
Aqui usei
apenas como dado; mantenho
simbólico porque ele cancela depois.
Passo 5
Frequências para uma corda presa em ambas as extremidades (fixo-fixo): os modos são senos inteiros e os comprimentos de onda são
e as frequências são
onde
é agora o comprimento da segunda corda (
) e
é o número do harmônico (modo). Exemplo: o primeiro harmônico tem
.
Passo 6
Queremos que algum harmônico
da segunda corda tenha a mesma frequência do quinto harmônico da primeira corda. Igualando:
Cancelando
dos dois lados e isolando
dá
Essa é a expressão do comprimento da segunda corda que torna o seu
-ésimo harmônico igual ao
-ésimo da primeira.
Passo 7
Procuramos o menor comprimento positivo possível: como
deve ser um inteiro positivo (
), o menor valor é obtido com
. Substituindo
e
:
Arredondando para três casas decimais (conforme pedido) temos
.