Se um corpo com 1 kg de massa fosse localizado cuidadosa e precisamente dentro de \pm 1000 \AA (aproximadamente aquilo que podemos obter utilizando métodos ópticos) com que incerteza poderia dizer que o objeto está em repouso? O que você pode dizer quanto à precisão nas medidas dos aparelhos (isto é, os seus equipamentos mediriam tal incerteza na velocidade)? E se temos um elétron encerrado numa cavidade (potencial) de 10 \AA de largura. Qual seria a incerteza na sua velocidade?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais:
  1. Para um corpo de massa 1\\ \text{kg} localizado com precisão de \pm 1000\\ \text{\AA}, determinar a incerteza na sua velocidade.
  2. Dizer se aparelhos reais conseguiriam medir essa incerteza (ou seja, comentar sobre a precisão dos instrumentos).
  3. Para um elétron confinado numa cavidade de largura 10\\ \text{\AA}, determinar a incerteza na sua velocidade.
Informações e conversões dadas (vou listá‑las explicitamente):
  • Localização do corpo macroscópico: \pm 1000\\ \text{\AA}. Tomarei a incerteza de posição como \Delta x = 1000\\ \text{\AA}.
  • 1\\ \text{\AA} = 10^{-10}\\ \text{m}. Assim \Delta x = 1000\times 10^{-10}\\ \text{m} = 1\times 10^{-7}\\ \text{m}.
  • Massa do corpo macroscópico: m = 1\\ \text{kg}.
  • Largura da cavidade para o elétron: 10\\ \text{\AA} = 10\times 10^{-10}\\ \text{m} = 1\times 10^{-9}\\ \text{m}. Tomarei \Delta x = 1\times 10^{-9}\\ \text{m} para o elétron.
  • Massa do elétron: m_e \approx 9{,}10938356\times 10^{-31}\\ \text{kg}.
  • Constante de Planck reduzida: \hbar \approx 1{,}054571817\times 10^{-34}\\ \text{J}\cdot\text{s}.
A partir daqui vamos calcular as incertezas usando a relação de incerteza de Heisenberg e transformar em incerteza de velocidade.

Passo 2

Apresento a relação de incerteza de Heisenberg que vamos usar e explico cada símbolo:
\Delta x\,\Delta p \ge \frac{\hbar}{2}.
  • \Delta x é a incerteza na posição (em metros).
  • \Delta p é a incerteza no momento linear (em \text{kg}\cdot\text{m/s}).
  • \hbar é a constante de Planck reduzida, \hbar = h/(2\pi), com valor numérico dado acima.
    Essa é uma desigualdade fundamental da mecânica quântica: não é possível reduzir simultaneamente \Delta x e \Delta p a zero; o produto tem um limite inferior \hbar/2. Para estimativas de ordem de grandeza usamos a igualdade mínima:
\Delta x\,\Delta p \approx \frac{\hbar}{2}.

Passo 3

Relacionamos \Delta p com a incerteza de velocidade \Delta v. Para partículas não relativísticas (válido aqui), o momento é p = m v, logo uma incerteza de momento \Delta p corresponde a
\Delta p = m\,\Delta v.
Substituindo na desigualdade de Heisenberg e isolando \Delta v obtemos a estimativa mínima:
\Delta v \gtrsim \frac{\hbar}{2\,m\,\Delta x}.
Explico: essa fórmula dá a menor incerteza de velocidade compatível com a incerteza de posição dada. É uma incerteza quântica, não um erro de medição — mas ela representa um limite fundamental.

Passo 4

Agora aplico a fórmula ao caso do corpo de 1\\ \text{kg}.
Dados:
m = 1\\ \text{kg},\qquad \Delta x = 1\times 10^{-7}\\ \text{m},\qquad \hbar = 1{,}054571817\times 10^{-34}\\ \text{J}\cdot\text{s}.
Substituindo em
\Delta v \gtrsim \frac{\hbar}{2\,m\,\Delta x}
temos
\Delta v \gtrsim \frac{1{,}054571817\times 10^{-34}}{2\times 1 \times 1\times 10^{-7}} = \frac{1{,}054571817\times 10^{-34}}{2\times 10^{-7}}.
Faço a divisão:
\Delta v \gtrsim 5{,}272859085\times 10^{-28}\\ \text{m/s}.
Arredondando de modo conveniente:
\Delta v \gtrsim 5{,}3\times 10^{-28}\\ \text{m/s}.

Passo 5

Interpretação física para o caso do corpo macroscópico:
  • O valor \Delta v\sim 5{,}3\times 10^{-28}\\ \text{m/s} é absurdamente pequeno. Em termos práticos isso significa que, mesmo estando localizado com precisão de \pm 1000\\ \text{\AA}, a incerteza quântica mínima na velocidade de um objeto de 1\\ \text{kg} é praticamente zero para qualquer propósito experimental macroscópico.
  • Quanto aos aparelhos: nenhum equipamento real conseguiria medir tal incerteza. Existem várias razões: ruído térmico, vibrações ambientais, limitações de detecção e limitações fundamentais de instrumentos. A sensibilidade experimental típica (mesmo em medições altamente avançadas) está muitas ordens de magnitude acima de 10^{-28}\\ \text{m/s}. Portanto essa incerteza quântica é irrelevante para objetos macroscópicos — a mecânica quântica permite esse valor muito pequeno, mas a detecção é impossível com tecnologia prática.

Passo 6

Agora faço o cálculo para o elétron confinado numa cavidade de largura 10\\ \text{\AA}.
Dados:
m_e = 9{,}10938356\times 10^{-31}\\ \text{kg},\qquad \Delta x = 1\times 10^{-9}\\ \text{m}.
Usando a mesma fórmula
\Delta v \gtrsim \frac{\hbar}{2\,m_e\,\Delta x}
substituo os números:
\Delta v \gtrsim \frac{1{,}054571817\times 10^{-34}}{2\times 9{,}10938356\times 10^{-31}\times 1\times 10^{-9}}.
Calculo o denominador:
2\times 9{,}10938356\times 10^{-31}\times 1\times 10^{-9} = 1{,}821876712\times 10^{-39}.
Agora a divisão:
\Delta v \gtrsim \frac{1{,}054571817\times 10^{-34}}{1{,}821876712\times 10^{-39}} \approx 5{,}79\times 10^{4}\\ \text{m/s}.
Portanto
\Delta v \gtrsim 5{,}8\times 10^{4}\\ \text{m/s}.

Passo 7

Interpretação física e comparação:
  • Para o elétron a incerteza de velocidade \sim 5{,}8\times 10^{4}\\ \text{m/s} é grande em termos humanos, mas está bem dentro da escala típica de velocidades eletrônicas (por exemplo, elétrons em átomos têm velocidades na casa de 10^{5} a 10^{6}\\ \text{m/s}). Portanto a incerteza quântica aqui é fisicamente relevante e mensurável indiretamente (por exemplo, através de quantização de energia, espectroscopia, ou medidas de momento em experimentos de espalhamento).
  • Podemos também estimar a incerteza de energia associada (apenas para ter noção): \Delta E \sim \tfrac{1}{2} m_e (\Delta v)^2 \approx 1{,}5\times 10^{-21}\\ \text{J}\approx 9{,}5\times 10^{-3}\\ \text{eV} (ordem de 10\\ \text{meV}), o que é detectável em bons experimentos espectroscópicos. Logo, ao contrário do caso macroscópico, as incertezas quânticas para partículas leves confinadas são relevantes e podem afetar medições.

Resposta

\Delta v_{\text{(1 kg, }\pm1000\text{ \AA})}\approx 5{,}3\times 10^{-28}\\ \text{m/s}.
Equipamentos atuais não conseguiriam medir essa incerteza; ela é muito, muito menor que qualquer sensibilidade prática (portanto indetectável na prática).
\Delta v_{\text{(elétron, }10\text{ \AA})}\approx 5{,}8\times 10^{4}\\ \text{m/s}.é

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