Um corpo está se movendo em linha reta. Sua aceleração é dada por a=2 raiz[3]v, onde v é medido em m / s e a em m / s^2. É dado que no instante t=0, x=1 m e v=2 m / s . Determine:
a) a função horária da velocidade.
b) a função horária da posição.
c) a velocidade v em função da posição x.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um corpo que se move em linha reta e sua aceleração está relacionada à velocidade pela fórmula . As unidades são dadas: em metros por segundo ( ) e em metros por segundo ao quadrado ( ). Além disso, sabemos que no instante inicial , a posição e a velocidade .
Vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente relacionados à aceleração, velocidade e posição ao longo do tempo. Também vamos precisar integrar a expressão da aceleração para encontrar a função da velocidade em relação ao tempo e depois integrar novamente para achar a posição. Para a parte c, vamos relacionar velocidade e posição diretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a): encontrar a função horária da velocidade, ou seja, a = dvdt .
Sabemos que aceleração a = 2 raiz[3]v é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
dvdt = 2 v^1/3
Dada a equação da aceleração:
v^-1/3 dv = 2 dt
Então temos:
Agora, vamos separar as variáveis e para integrar:

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados da equação:
integral v^-1/3 dv = integral 2 dt
Lembrando que:
integral v^n dv = v^n+1n+1 + C
Aplicando isso:
v^2/32/3 = 2t + C
32 v^2/3 = 2t + C

Passo 4

Vamos resolver para v^2/3 = 43 t + C' :
2^2/3 = 0 + C'
onde C' = 2^2/3 (constante de integração simplificada)
Para encontrar v^2/3 = 43 t + 2^2/3 , usamos as condições iniciais. Quando , :
Então a equação fica:

Passo 5

Agora, resolvemos para v = ( 43 t + 2^2/3 )^3/2 :
v(t) = ( 43 t + 2^2/3 )^3/2 , m/s
Então, a função horária da velocidade é:

Resposta

A função horária da velocidade é metros por segundo.

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