Um corpo está se movendo em linha reta. Sua aceleração é dada por
, onde
é medido
e
. É dado que no instante
e
. Determine:
a) a função horária da velocidade.
b) a função horária da posição.
c) a velocidade
em função da posição
.
a) a função horária da velocidade.
b) a função horária da posição.
c) a velocidade
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um corpo que se move em linha reta e sua aceleração está relacionada à velocidade pela fórmula
. As unidades são dadas:
em metros por segundo (
) e
em metros por segundo ao quadrado (
). Além disso, sabemos que no instante inicial
, a posição
e a velocidade
.
Vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente relacionados à aceleração, velocidade e posição ao longo do tempo. Também vamos precisar integrar a expressão da aceleração para encontrar a função da velocidade em relação ao tempo e depois integrar novamente para achar a posição. Para a parte c, vamos relacionar velocidade e posição diretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a): encontrar a função horária da velocidade, ou seja,
.
Sabemos que aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Dada a equação da aceleração:
Então temos:
Agora, vamos separar as variáveis
e
para integrar:
Passo 3
Vamos integrar ambos os lados da equação:
Lembrando que:
Aplicando isso:
Passo 4
Vamos resolver para
:
onde
(constante de integração simplificada)
Para encontrar
, usamos as condições iniciais. Quando
,
:
Então a equação fica:
Passo 5
Agora, resolvemos para
:
Então, a função horária da velocidade é:
Resposta
A função horária da velocidade é
metros por segundo.