Um corpo de prova de aço com diâmetro de 20 mm , comprimento de 200 mm e módulo de elasticidade de 200 G P a é submetido à tração com força de 314 kN . Calcule a tensão e a deformação.

Passo 1

O enunciado dá os dados do corpo de prova e pede dois valores: tensão e deformação.
Dados fornecidos:
d = 20\\ \mathrm{mm}
L = 200\\ \mathrm{mm}
E = 200\\ \mathrm{GPa}
F = 314\\ \mathrm{kN}
Perguntas:
  • Calcular a tensão (normal) \sigma.
  • Calcular a deformação unitaria (alongamento relativo) \varepsilon.

Passo 2

Entendendo a tensão: a tensão normal é definida como a força dividida pela área da seção transversal. Para uma seção circular a área vale
A = \frac{\pi d^{2}}{4}.
Aqui devemos usar unidades consistentes. Vou trabalhar com \mathrm{N} e \mathrm{mm}^{2}, pois \mathrm{N/mm}^{2} é igual a \mathrm{MPa} (isso ajuda a interpretar o resultado).
Calcule A substituindo d=20\\ \mathrm{mm}:
d^{2} = 20^{2} = 400\\ \mathrm{mm}^{2},
A = \frac{\pi\cdot 400}{4} = 100\pi\\ \mathrm{mm}^{2}.
Aproximando \pi \approx 3{,}14159:
A \approx 100\cdot 3{,}14159 = 314{,}16\\ \mathrm{mm}^{2}.

Passo 3

Converter a força para \mathrm{N}:
F = 314\\ \mathrm{kN} = 314{,}000\\ \mathrm{N}.
Definição de tensão:
\sigma = \frac{F}{A}.
Substituindo os valores (usando A=100\pi\\ \mathrm{mm}^{2}):
\sigma = \frac{314{,}000}{100\pi}\\ \mathrm{N/mm}^{2} = \frac{3{,}140}{\pi}\\ \mathrm{N/mm}^{2}.
Agora aproximando numericamente:
\sigma \approx \frac{3{,}140}{3{,}14159}\\ \mathrm{N/mm}^{2} \approx 1{,}000\\ \mathrm{N/mm}^{2}.
Como 1\\ \mathrm{N/mm}^{2}=1\\ \mathrm{MPa} e 1{,}000\\ \mathrm{MPa}=1\\ \mathrm{GPa}, podemos escrever também
\sigma = 1{,}000\\ \mathrm{MPa} = 1\\ \mathrm{GPa}.

Passo 4

Entendendo a deformação: na região elástica (Lei de Hooke) a deformação unitaria \varepsilon é dada por
\varepsilon = \frac{\sigma}{E},
onde \varepsilon é adimensional (razão), \sigma é a tensão e E é o módulo de elasticidade. Precisamos usar as mesmas unidades para \sigma e E.
Converter E para \mathrm{N/mm}^{2}: 1\\ \mathrm{GPa}=1000\\ \mathrm{MPa} e 1\\ \mathrm{MPa}=1\\ \mathrm{N/mm}^{2}, então
E = 200\\ \mathrm{GPa} = 200{,}000\\ \mathrm{N/mm}^{2}.
Calcule \varepsilon:
\varepsilon = \frac{1{,}000}{200{,}000} = 0{,}005.
Interpretando: \varepsilon=0{,}005 é adimensional, o que corresponde a 0{,}5\% de alongamento relativo.
Passo adicional (útil na prova): o alongamento absoluto \Delta L do corpo de prova seria
\Delta L = \varepsilon\cdot L = 0{,}005\cdot 200\\ \mathrm{mm} = 1\\ \mathrm{mm},
mostrar que os números batem e dão um resultado plausível.

Passo 5

Checagem rápida de unidades e sentido físico:
  • A tensão ficou em \mathrm{MPa}/\mathrm{GPa}, que é a unidade correta.
  • A deformação é adimensional e pequena ( 0{,}5\%), compatível com comportamento elástico de aço.
    Força, área e módulo foram tratados com consistência de unidades, então os resultados estão corretos.

Resposta

\sigma = 1{,}000\\ \mathrm{MPa} = 1\\ \mathrm{GPa}
\varepsilon = 0{,}005 = 0{,}5\%

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