Um corpo de prova cilíndrico de uma liga metálica hipotética possui diâmetro de 12,5 mm . Uma força de tração de 1700 N produz uma redução elástica no diâmetro de
7 mm . Considerando essas informações, calcule o módulo de elasticidade para essa liga, dado que o coeficiente de Poisson é de 0,31 .
A)
B)
C)
D) 12 Mpa
E)
A)
B)
C)
D) 12 Mpa
E)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (peguei todos esses números do enunciado):
- Diâmetro inicial do corpo:
. - Força de tração aplicada:
. - Redução elástica do diâmetro (variação do diâmetro):
.
Observação: o enunciado apresentou a expressão em notação científica; aqui adoteicomo o valor compatível com um pequeno encolhimento elástico típico (essa é a informação numérica do enunciado que vou usar). - Coeficiente de Poisson:
.
O que o problema pede: - Calcular o módulo de elasticidade
(valor numérico e, para selecionar entre as alternativas, indicar a opção correta).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma didática):
- Tensão (ou esforço) axial média
é a força sobre a área:
onde
é força (N) e
é a área da seção transversal (mm
). Se usarmos N para força e mm
para área,
fica em N/mm
, que é igual a MPa.
- Deformação lateral (ou strain lateral) é a variação relativa do diâmetro:
Aqui
será negativo porque o diâmetro diminui; mas usaremos o valor absoluto para obter módulos.
- Coeficiente de Poisson
relaciona deformações lateral e axial (para comportamento elástico linear isotrópico):
onde
é a deformação axial (alongamento relativo).
- Lei de Hooke para comportamento elástico uniaxial relaciona tensão axial
com deformação axial :
- Isolando
a partir das relações acima: primeiro . Substituindo em Hooke:
Usando
(sinal de
negativo para contração), o módulo em valor absoluto fica
Essa é a fórmula prática que vamos usar. Explicando as variáveis:
-
: módulo de elasticidade (N/mm = MPa). -
: tensão axial média (N/mm ). -
: coeficiente de Poisson (adimensional). -
: diâmetro inicial (mm). -
: magnitude da redução do diâmetro (mm).
Passo 3
Calcular a área da seção transversal circular
:
Substituindo
:
Passo 4
Calcular a tensão média axial
.
Portanto
(lembrando que
).
Passo 5
Calcular a combinação
que aparece na fórmula final:
Fazendo as contas:
Logo
(unidade N/mm, que dividido por mm dá N/mm
= MPa quando dividirmos por
em mm).
Passo 6
Aplicar a fórmula final para
:
Substituindo
:
Em unidades mais usuais para módulo elástico, isso é
Arredondando com a precisão das alternativas,
(numa prova de materiais é comum expressar
em GPa).
Passo 7
Interpretação final e escolha da alternativa:
- O valor calculado é
, o que corresponde a . - Entre as alternativas fornecidas, o valor numérico que coincide com esse resultado é a alternativa A (notar que as alternativas estão dadas em MPa no enunciado; o resultado físico coerente para uma liga metálica é
, correspondente numericamente à alternativa A listada como — presumindo uma convenção de unidades na lista).
Resposta
A)