Um corpo de prova cilíndrico de uma liga metálica hipotética possui diâmetro de 12,5 mm . Uma força de tração de 1700 N produz uma redução elástica no diâmetro de 6 \times 10 7 mm . Considerando essas informações, calcule o módulo de elasticidade para essa liga, dado que o coeficiente de Poisson é de 0,31 .
A) 89,5 \mathrm{MPa}
B) 95,0 \mathrm{MPa}
C) 120,5 \mathrm{MPa}
D) 12 Mpa
E) 90,5 \mathrm{Mpa}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (peguei todos esses números do enunciado):
  • Diâmetro inicial do corpo: d=12{,}5\\ \text{mm}.
  • Força de tração aplicada: F=1700\\ \text{N}.
  • Redução elástica do diâmetro (variação do diâmetro): \Delta d = 6\times 10^{-4}\\ \text{mm}.
    Observação: o enunciado apresentou a expressão em notação científica; aqui adotei \Delta d=6\times10^{-4}\\ \text{mm} como o valor compatível com um pequeno encolhimento elástico típico (essa é a informação numérica do enunciado que vou usar).
  • Coeficiente de Poisson: \nu=0{,}31.
    O que o problema pede:
  • Calcular o módulo de elasticidade E (valor numérico e, para selecionar entre as alternativas, indicar a opção correta).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma didática):
  • Tensão (ou esforço) axial média \sigma é a força sobre a área:
\sigma=\frac{F}{A},
onde F é força (N) e A é a área da seção transversal (mm ^2). Se usarmos N para força e mm ^2 para área, \sigma fica em N/mm ^2, que é igual a MPa.
  • Deformação lateral (ou strain lateral) é a variação relativa do diâmetro:
\varepsilon_{\text{lat}}=\frac{\Delta d}{d}.
Aqui \Delta d será negativo porque o diâmetro diminui; mas usaremos o valor absoluto para obter módulos.
  • Coeficiente de Poisson \nu relaciona deformações lateral e axial (para comportamento elástico linear isotrópico):
\varepsilon_{\text{lat}}=-\nu\,\varepsilon_{\text{ax}},
onde \varepsilon_{\text{ax}} é a deformação axial (alongamento relativo).
  • Lei de Hooke para comportamento elástico uniaxial relaciona tensão axial \sigma com deformação axial \varepsilon_{\text{ax}}:
\sigma=E\,\varepsilon_{\text{ax}}.
  • Isolando E a partir das relações acima: primeiro \varepsilon_{\text{ax}}=-\dfrac{\varepsilon_{\text{lat}}}{\nu}. Substituindo em Hooke:
E=\frac{\sigma}{\varepsilon_{\text{ax}}}=\frac{\sigma}{-\dfrac{\varepsilon_{\text{lat}}}{\nu}}=\sigma\cdot\frac{\nu}{-\varepsilon_{\text{lat}}}.
Usando \varepsilon_{\text{lat}}=\dfrac{\Delta d}{d} (sinal de \Delta d negativo para contração), o módulo em valor absoluto fica
E=\sigma\cdot\frac{\nu\,d}{|\Delta d|}.
Essa é a fórmula prática que vamos usar. Explicando as variáveis:
  • E: módulo de elasticidade (N/mm ^2 = MPa).
  • \sigma: tensão axial média (N/mm ^2).
  • \nu: coeficiente de Poisson (adimensional).
  • d: diâmetro inicial (mm).
  • |\Delta d|: magnitude da redução do diâmetro (mm).

Passo 3

Calcular a área da seção transversal circular A:
A=\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2
Substituindo d=12{,}5\\ \text{mm}:
A=\pi\left(\frac{12{,}5}{2}\right)^2=\pi\,(6{,}25)^2=\pi\cdot 39{,}0625\approx 122{,}7185\\ \text{mm}^2.

Passo 4

Calcular a tensão média axial \sigma=\dfrac{F}{A}.
\sigma=\frac{1700}{122{,}7185}\\ \text{N/mm}^2\approx 13{,}85499\\ \text{N/mm}^2.
Portanto \sigma\approx 13{,}855\\ \text{MPa} (lembrando que 1\\ \text{N/mm}^2=1\\ \text{MPa}).

Passo 5

Calcular a combinação \sigma\cdot\nu\cdot d que aparece na fórmula final:
\sigma\cdot\nu\cdot d \approx 13{,}85499\cdot 0{,}31\cdot 12{,}5.
Fazendo as contas:
13{,}85499\cdot 0{,}31 \approx 4{,}295047,
4{,}295047\cdot 12{,}5 \approx 53{,}68809.
Logo \sigma\,\nu\,d\approx 53{,}68809 (unidade N/mm, que dividido por mm dá N/mm ^2 = MPa quando dividirmos por |\Delta d| em mm).

Passo 6

Aplicar a fórmula final para E:
E=\frac{\sigma\,\nu\,d}{|\Delta d|}.
Substituindo |\Delta d|=6\times10^{-4}\\ \text{mm}:
E\approx\frac{53{,}68809}{6\times10^{-4}}\\ \text{N/mm}^2 =89{,}480{,}150\\ \text{N/mm}^2.
Em unidades mais usuais para módulo elástico, isso é
E\approx 8{,}9480\times10^{4}\\ \text{N/mm}^2 = 89{,}480\\ \text{MPa} = 89{,}48\\ \text{GPa}.
Arredondando com a precisão das alternativas, E\approx 89{,}5\\ \text{GPa} (numa prova de materiais é comum expressar E em GPa).

Passo 7

Interpretação final e escolha da alternativa:
  • O valor calculado é E\approx 89{,}480\\ \text{MPa}, o que corresponde a 89{,}48\\ \text{GPa}.
  • Entre as alternativas fornecidas, o valor numérico que coincide com esse resultado é a alternativa A (notar que as alternativas estão dadas em MPa no enunciado; o resultado físico coerente para uma liga metálica é \approx 89{,}5\\ \text{GPa}, correspondente numericamente à alternativa A listada como 89{,}5 — presumindo uma convenção de unidades na lista).

Resposta

A) 89{,}5\\ \mathrm{MPa}

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