Um corpo de prova de polietileno de alta densidade (PEAD) foi submetido a um ensaio de tração segundo a norma ASTM D638. A seção transversal da amostra é retangular, com 10 mm de largura e 4 mm de espessura, e seu comprimento útil é de 50 mm . O corpo de prova foi tracionado até a ruptura.
A máquina registrou os seguintes dados no ponto de ruptura:
  • Carga máxima (força): 900 N
  • Alongamento total até a ruptura: 150 \%
    a) Calcule a tensão máxima (omáx) suportada pelo material.
    b) Determine o alongamento final (em mm) do corpo de prova no momento da ruptura.
    c) Calcule a deformação verdadeira (ou “true strain”) no ponto de ruptura.
    d) Sabendo que o módulo de elasticidade do PEAD é aproximadamente 1000 MPa , estime a deformação elástica (assuma comportamento elástico-linear até 2 \% de deformação).
    e) Explique qualitativamente por que polímeros como o PEAD apresentam grande deformação antes da ruptura.

Passo 1

Dados que o enunciado nos dá e o que ele pede:
  • Dimensões da seção transversal (retangular): largura = 10\\ \text{mm}, espessura = 4\\ \text{mm}.
  • Comprimento útil inicial: L_0 = 50\\ \text{mm}.
  • No ponto de ruptura a máquina registrou:
    • Carga máxima (força): F_{\max}=900\\ \text{N}.
    • Alongamento total até a ruptura: 150\% (isto é, alongamento relativo de 1,5).
  • Pedidos:
    a) Calcular a tensão máxima \sigma_{\max} suportada pelo material (usar a seção original).
    b) Determinar o alongamento final (em mm) do corpo de prova no momento da ruptura.
    c) Calcular a deformação verdadeira (true strain) no ponto de ruptura.
    d) Sabendo E \approx 1000\\ \text{MPa}, estimar a deformação elástica assumindo comportamento elástico-linear somente até 2\% de deformação.
    e) Explicar qualitativamente por que polímeros como o PEAD apresentam grande deformação antes da ruptura.

Passo 2

Cálculo da área da seção original e explicação da fórmula da tensão (engenharia):
  • Área da seção transversal original: A = \text{largura}\times\text{espessura} = 10\\ \text{mm}\times 4\\ \text{mm}=40\\ \text{mm}^2.Observação prática: em ensaios de tração normalmente usamos a área original para calcular a tensão de engenharia (tensão nominal).
  • Fórmula da tensão de engenharia (ou tensão nominal): \sigma = \frac{F}{A},onde \sigma é a tensão em unidades de força por área, F é a força aplicada e A é a área original. Para unidades: 1\\ \text{N}/\text{mm}^2 = 1\\ \text{MPa}.

Passo 3

Cálculo numérico da tensão máxima \sigma_{\max}:
  • Aplicando a fórmula com os valores conhecidos: \sigma_{\max}=\frac{F_{\max}}{A}=\frac{900\\ \text{N}}{40\\ \text{mm}^2}=22{,}5\\ \text{N}/\text{mm}^2.
  • Convertendo para MPa (mesma unidade): \sigma_{\max}=22{,}5\\ \text{MPa}.Dica de prova: é rápido calcular em \text{N}/\text{mm}^2 porque já dá MPa.

Passo 4

Cálculo do alongamento final em mm (parte b) e explicação do conceito de alongamento/strain de engenharia:
  • Definição de alongamento (engenharia): \epsilon = \dfrac{\Delta L}{L_0}.
  • O enunciado diz \epsilon = 150\% = 1{,}5.
  • Assim a variação de comprimento é: \Delta L = \epsilon \, L_0 = 1{,}5\times 50\\ \text{mm}=75\\ \text{mm}.
  • Comprimento final: L_f = L_0 + \Delta L = 50\\ \text{mm}+75\\ \text{mm}=125\\ \text{mm}.Dica de prova: para uma elongação de 150\% o comprimento final é 2{,}5 vezes o inicial (porque 1+1{,}5=2{,}5).

Passo 5

Cálculo da deformação verdadeira (true strain) e por que usamos essa definição:
  • Explicação do conceito: a deformação verdadeira \epsilon_t considera incrementos infinitesimais de alongamento e é definida por soma (integração) dos pequenos alongamentos relativos. Para uma deformação grande e homogênea, a relação entre deformação de engenharia \epsilon e deformação verdadeira \epsilon_t é \epsilon_t=\ln(1+\epsilon),onde \epsilon é a deformação de engenharia (aqui 1{,}5). Essa fórmula vem da integração de \mathrm{d}\epsilon_t=\mathrm{d}L/L.
  • Aplicando ao caso: \epsilon_t=\ln(1+1{,}5)=\ln(2{,}5).
  • Valor numérico (usar log natural): \epsilon_t\approx 0{,}9163.Interpretação: a deformação verdadeira é cerca de 0{,}916 (ou 91{,}63\% em termos percentuais), menor que 150\% porque a definição é diferente; para grandes alongamentos a escala logarítmica dá essa diferença.

Passo 6

Estimativa da deformação elástica (parte d) usando o módulo de elasticidade e a hipótese dada:
  • Lei de Hooke (região elástica linear pequena): \sigma = E\,\epsilon_\text{elástica}á, onde E é o módulo de Young e \epsilon_\text{elástica}á é a deformação elástica.
  • Se tentarmos calcular a deformação elástica pela extrapolação linear usando \sigma_{\max}: \epsilon_\text{elástica,\,teórica}=\frac{\sigma_{\max}}{E}=\frac{22{,}5\\ \text{MPa}}{1000\\ \text{MPa}}=0{,}0225\\ (2{,}25\%).áó
  • Mas o enunciado pede para assumir que o comportamento elástico-linear vale só até 2\%. Como a extrapolação daria 2{,}25\% (um pouco maior que 2\%), devemos limitar a deformação elástica ao máximo linear assumido: portanto \epsilon_\text{elástica}\approx 0{,}02\\ (2\%).á
  • Alongamento elástico em mm (para dar uma noção prática): \Delta L_\text{elástica}=\epsilon_\text{elástica}\,L_0=0{,}02\times 50\\ \text{mm}=1\\ \text{mm}.áá
  • Observação útil para prova: o estresse linear correspondente a 2\% seria \sigma=E\times 0{,}02=20\\ \text{MPa}, um pouco menor que a tensão de ruptura medida.

Passo 7

Explicação qualitativa (parte e): por que o PEAD e polímeros em geral apresentam grande deformação antes da ruptura — explicação didática, sem jargão pesado
  • Estrutura molecular: polímeros como o PEAD são formados por longas cadeias moleculares entrelaçadas. Pense nelas como fios muito compridos e emaranhados.
  • Nos materiais metálicos a deformação plástica ocorre por deslizamento de planos cristalinos; nos polímeros há muito do “desenrolar” e “alinhamento” dessas cadeias. Antes de romper, as cadeias podem:
    • Desenrolar e reorganizar-se (aumentando o comprimento macroscópico),
    • Deslizar umas sobre as outras nas regiões amorfas,
    • Alinhar-se na direção da tração, o que permite grandes alongamentos.
  • Regiões semicristalinas: o PEAD é parcialmente cristalino; as regiões cristalinas dão resistência enquanto as regiões amorfas permitem mobilidade molecular. Isso combina resistência com grande capacidade de deformação.
  • Fenômenos visíveis: “crazes” e “estrias” (microfissuras cheias de fibrilas) absorvem energia antes da ruptura, retardando o colapso súbito.
  • Resultado prático: o material mostra baixa rigidez relativa (comparado a metais) e grande ductilidade — ou seja, ele se estica muito antes de quebrar. Em linguagem de prova: muita dissipação por rearranjo molecular permite alto alongamento de ruptura.
  • Dica de prova e motivação: quando vir grande alongamento em polímero, pense “cadeias longas que deslizam, desenrolam e se alinham” — isso costuma prestar boa justificativa qualitativa.

Resposta

(a) \sigma_{\max}=22{,}5\\ \text{MPa}
(b) L_f=125\\ \text{mm} (alongamento \Delta L=75\\ \text{mm})
(c) \epsilon_t=\ln(1+1{,}5)=\ln(2{,}5)\approx 0{,}9163
(d) \epsilon_{\text{elástica}}\approx 0{,}02á (2%), o que corresponde a \Delta L_{\text{elástica}}=1\\ \text{mm}á e \sigma|_{2\%}=20\\ \text{MPa}
(e) Polímeros como o PEAD têm longas cadeias moleculares que se desenrolam, deslizam e se alinham sob tração; regiões amorfas permitem mobilidade e regiões cristalinas dão resistência, resultando em grande capacidade de deformação plástica antes da ruptura.

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