A corrente que entra pelo terminal positivo de um elemento é
. Calcule a potência entregue ao elemento em função do tempo e a energia entregue ao elemento para
, se a tensão é (a)
, (b)
, e ©
(a tensão é em volts se a corrente for em ampères).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá uma corrente que entra no terminal positivo de um elemento: $ i(t) = -4 e^{-2t} $ A. Precisamos calcular a potência entregue ao elemento em função do tempo e a energia entregue para $ t > 0 $, considerando três diferentes expressões para a tensão $ v $:
a) $ v = 2i $
b) $ v = 4 \frac{di}{dt} $
c) $ v = 2 \int i , dt + 4 $
Vamos precisar usar conceitos de eletricidade básica, como potência elétrica ($ P = v \cdot i
W = \int P , dt $). Também vamos precisar calcular derivadas e integrais da função corrente dada.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): $ v = 2i $.
Primeiro, vamos substituir $ i(t) $ na expressão da tensão:
Agora, para encontrar a potência $ P(t) $, usamos a fórmula $ P = v \cdot i $:
Passo 3
Ainda na parte (a), vamos calcular a energia entregue ao elemento para $ t > 0 $.
A energia $ W $ é a integral da potência em relação ao tempo:
Integrando:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b): $ v = 4 \frac{di}{dt} $.
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da corrente $ i(t) $:
Derivando em relação ao tempo:
Agora, substituímos na expressão da tensão:
Agora, calculamos a potência:
Passo 5
Continuando na parte (b), vamos calcular a energia entregue:
Integrando:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos resolver a parte ©: $ v = 2 \int i , dt + 4 $.
Primeiro, precisamos calcular a integral da corrente $ i(t) $:
Integrando em relação ao tempo:
Assumindo que a constante de integração $ C = 0 $ (já que queremos a relação particular), temos:
Agora, calculamos a potência:
Passo 7
Por fim, vamos calcular a energia entregue na parte ©:
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Resposta
Para cada caso, a potência entregue ao elemento e a energia entregue para $ t > 0 $ são:
a)
b)
c)