A corrente que entra pelo terminal positivo de um elemento é i=-4 e^-2 t A. Calcule a potência entregue ao elemento em função do tempo e a energia entregue ao elemento para t>0, se a tensão é (a) v=2 i, (b) v=4 d i / d t, e © v=2 integrali^i i d t+4 (a tensão é em volts se a corrente for em ampères).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá uma corrente que entra no terminal positivo de um elemento: $ i(t) = -4 e^{-2t} $ A. Precisamos calcular a potência entregue ao elemento em função do tempo e a energia entregue para $ t > 0 $, considerando três diferentes expressões para a tensão $ v $:
a) $ v = 2i $
b) $ v = 4 \frac{di}{dt} $
c) $ v = 2 \int i , dt + 4 $
Vamos precisar usar conceitos de eletricidade básica, como potência elétrica ($ P = v \cdot i i(t) = -4 e^-2t é W = \int P , dt $). Também vamos precisar calcular derivadas e integrais da função corrente dada.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): $ v = 2i $.
Primeiro, vamos substituir $ i(t) $ na expressão da tensão:
v = 2i
Agora, para encontrar a potência $ P(t) $, usamos a fórmula $ P = v \cdot i $:
i(t)

Passo 3

Ainda na parte (a), vamos calcular a energia entregue ao elemento para $ t > 0 $.
A energia $ W $ é a integral da potência em relação ao tempo:
t > 0
Integrando:
W
Simplificando:
W(t) = integral0^t P(tau) , dtau = integral0^t 32 e^-4tau , dtau

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b): $ v = 4 \frac{di}{dt} $.
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da corrente $ i(t) $:
v = 4 didt
Derivando em relação ao tempo:
i(t)
Agora, substituímos na expressão da tensão:
i(t) = -4 e^-2t
Agora, calculamos a potência:
didt = -4 cdot (-2) e^-2t = 8 e^-2t , A/s

Passo 5

Continuando na parte (b), vamos calcular a energia entregue:
W(t) = integral0^t P(tau) , dtau = integral0^t -128 e^-4tau , dtau
Integrando:
W(t) = -128 [ -14 e^-4tau ]0^t = -128 ( -14 e^-4t + 14 )
Simplificando:
W(t) = 32 (1 - e^-4t) , J

Passo 6

Agora, vamos resolver a parte ©: $ v = 2 \int i , dt + 4 $.
Primeiro, precisamos calcular a integral da corrente $ i(t) $:
v = 2 integral i , dt + 4
Integrando em relação ao tempo:
i(t)
Assumindo que a constante de integração $ C = 0 $ (já que queremos a relação particular), temos:
i(t) = -4 e^-2t
Agora, calculamos a potência:
integral i(t) , dt = integral -4 e^-2t , dt = -4 cdot ( -12 e^-2t ) = 2 e^-2t + C

Passo 7

Por fim, vamos calcular a energia entregue na parte ©:
W(t) = integral0^t P(tau) , dtau = integral0^t (-16 e^-4tau - 16 e^-2tau) , dtau
Integrando termo a termo:
W(t) = -16 [ -14 e^-4tau ]0^t - 16 [ -12 e^-2tau ]0^t
Simplificando:
W(t) = 4 (1 - e^-4t) + 8 (1 - e^-2t)
W(t) = 4 - 4 e^-4t + 8 - 8 e^-2t
W(t) = 12 - 4 e^-4t - 8 e^-2t , J

Resposta

Para cada caso, a potência entregue ao elemento e a energia entregue para $ t > 0 $ são:
a)
t > 0
P(t) = 32 e^-4t , W
b)
W(t) = 8 (1 - e^-4t) , J
P(t) = -128 e^-4t , W
c)
W(t) = 32 (1 - e^-4t) , J
P(t) = -16 e^-4t - 16 e^-2t , W

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