Ache a transformada de Laplace das seguintes funções:
x e^3 x sen 2 x

Passo 1

Beleza, o exercício pede a transformada de Laplace da função
Isso é parte de transformadas de Laplace de funções exponenciais vezes senos/cossenos e também de uma propriedade especial quando a gente multiplica por f(x) = x,e^3x,sen(2x) .
O que vamos precisar:
  1. A fórmula básica
  1. A propriedade
Pronto, com isso a gente resolve na moral.

Passo 2

Primeiro, ignora o g(x)=e^3xsen(2x) e foca em
Pela fórmula básica, com Laplaceg(x)(s) =2(s-3)^2 + 2^2 =2(s-3)^2 + 4 e ,
Essa é a transformada de Laplace de .

Passo 3

Agora aplica a propriedade da multiplicação por Laplacex,g(x)(s) =-ddsl[Laplaceg(x)(s)r] =-dds!l[2(s-3)^2+4r] :
Ou seja, a gente vai derivar em relação a e depois põe o sinal menos.

Passo 4

Fazendo a derivada (é regra do quociente ou vamos ver como constante sobre função):
dds!l[2(s-3)^2+4r] =2cdot0 - 2(s-3)l[(s-3)^2+4r]^2 =-4(s-3)l[(s-3)^2+4r]^2
Detalhe: derivei Laplacex,e^3xsen(2x)(s) =-l(-4(s-3)[(s-3)^2+4]^2r) =4(s-3)l[(s-3)^2+4r]^2 que dá , e o sinal já aparece de acordo com a regra.
Então, como tem aquele menos da propriedade, ficamos com

Resposta

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