A corrente em um indutor conectado a um circuito telefônico é alterada de acordo com:
i(t)=\left\{\begin{array}{cc} 0 & t \leq 0 \\\\ 4 t & 0 \leq t \leq 1 \\\\ 4 & t \geq 1 \end{array}\right.
\mathrm{L}= 100.0000 mH
Calcule a tensão, a potência absorvida e a energia armazenada nos instantes de tempo \mathrm{t}=0.6 \mathrm{~s} \mathrm{e} \mathrm{t}=1.2 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá a corrente i(t) em um indutor e o valor da indutância L. Preciso calcular, nos instantes t=0{,}6\\ \mathrm{s} e t=1{,}2\\ \mathrm{s}, a tensão no indutor, a potência absorvida e a energia armazenada.
Informações do enunciado:
  • A corrente é
i(t)=\left\{\begin{array}{cc} 0 & t \leq 0 \\\\ 4\,t & 0 \leq t \leq 1 \\\\ 4 & t \geq 1 \end{array}\right.
  • A indutância é L=100{,}0000\\ \mathrm{mH} (valor fornecido).
O que pedirão os cálculos (cada um nos dois instantes):
  • tensão v(t) no indutor;
  • potência instantânea p(t) absorvida pelo indutor;
  • energia armazenada w(t) no indutor.

Passo 2

Primeiro converto a indutância para unidades do SI (henry). A unidade dada é \mathrm{mH}, ou milihenry:
L = 100{,}0000\\ \mathrm{mH} = 100{,}0000\times 10^{-3}\\ \mathrm{H} = 0{,}1\\ \mathrm{H}.
Vou usar L=0{,}1\\ \mathrm{H} nas contas.

Passo 3

Determinar a corrente e sua derivada ( di/dt) nas regiões relevantes e nos instantes pedidos.
A função é por partes:
  • Para 0\le t\le 1: i(t)=4\,t. Então a derivada é \dfrac{di}{dt}=4 (unidade \mathrm{A/s}), constante nessa faixa.
  • Para t\ge 1: i(t)=4 (constante). Então \dfrac{di}{dt}=0 para t>1.
Calculo os valores numéricos das correntes:
i(0{,}6)=4\cdot 0{,}6 = 2{,}4\\ \mathrm{A}.
i(1{,}2)=4\\ \mathrm{A}.
Resumo que vamos usar:
  • em t=0{,}6: i=2{,}4\\ \mathrm{A} e \dfrac{di}{dt}=4\\ \mathrm{A/s}.
  • em t=1{,}2: i=4\\ \mathrm{A} e \dfrac{di}{dt}=0\\ \mathrm{A/s}.

Passo 4

Fórmula para a tensão no indutor e explicação didática.
A relação fundamental para um indutor ideal é
v(t)=L\,\frac{di(t)}{dt},
onde
  • v(t) é a tensão instantânea no indutor (volts),
  • L é a indutância (henry),
  • \dfrac{di}{dt} é a taxa de variação da corrente no tempo (amperes por segundo).
Interpretação curta: a tensão aparece sempre que a corrente varia; se a corrente é constante ( \dfrac{di}{dt}=0) a tensão no indutor é zero.
Agora aplico essa fórmula nos instantes.

Passo 5

Cálculo da tensão nos instantes:
Para t=0{,}6:
v(0{,}6)=L\cdot\frac{di}{dt}=0{,}1\cdot 4 = 0{,}4\\ \mathrm{V}.
Para t=1{,}2:
v(1{,}2)=0{,}1\cdot 0 = 0\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Fórmula para potência instantânea e explicação.
A potência instantânea absorvida por um elemento é o produto tensão × corrente:
p(t)=v(t)\,i(t).
Substituindo v=L\,\dfrac{di}{dt} obtém-se também a forma conveniente para indutor:
p(t)=L\,i(t)\,\frac{di(t)}{dt}.
Interpretação: se p>0, o indutor está recebendo potência (energia sendo armazenada); se p<0, está liberando potência (energia saindo).
Agora calculo p nos instantes.

Passo 7

Cálculo da potência nos instantes:
Para t=0{,}6:
p(0{,}6)=v(0{,}6)\,i(0{,}6)=0{,}4\cdot 2{,}4 = 0{,}96\\ \mathrm{W}.
(ou usando p=L i\,di/dt = 0{,}1\cdot 2{,}4\cdot 4 = 0{,}96\\ \mathrm{W}.)
Para t=1{,}2:
p(1{,}2)=v(1{,}2)\,i(1{,}2)=0\cdot 4 = 0\\ \mathrm{W}.

Passo 8

Fórmula para a energia armazenada e explicação.
A energia magnética armazenada em um indutor ideal no instante t é
w(t)=\tfrac{1}{2}\,L\,i^2(t),
onde w é em joules. Isso vem do fato de que a potência instantânea p=L i\,di/dt é a taxa de variação da energia, e integrando obtém-se \tfrac{1}{2}L i^2 (assumindo energia zero quando i=0).
Agora calculo w nos instantes.

Passo 9

Cálculo da energia nos instantes:
Para t=0{,}6:
w(0{,}6)=\tfrac{1}{2}\,L\,i^2(0{,}6)=\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}1\cdot (2{,}4)^2.
Primeiro (2{,}4)^2=5{,}76. Então
w(0{,}6)=0{,}5\cdot 0{,}1\cdot 5{,}76 = 0{,}05\cdot 5{,}76 = 0{,}288\\ \mathrm{J}.
Para t=1{,}2:
w(1{,}2)=\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}1\cdot (4)^2 = 0{,}05\cdot 16 = 0{,}8\\ \mathrm{J}.

Passo 10

Interpretação rápida e encorajamento:
  • Em t=0{,}6 a corrente está crescendo ( \dfrac{di}{dt}=4>0), então o indutor tem tensão 0{,}4\\ \mathrm{V} e está absorvendo potência ( 0{,}96\\ \mathrm{W}); a energia armazenada é 0{,}288\\ \mathrm{J}.
  • Em t=1{,}2 a corrente já está constante ( \dfrac{di}{dt}=0), então a tensão é zero e não há potência instantânea trocada; a energia armazenada é 0{,}8\\ \mathrm{J} (maior, porque entre t=0 e t=1 o indutor recebeu energia).
Boas notícias: agora você tem as fórmulas e os passos práticos para aplicar na prova — lembra: identificar a região da função, calcular i e di/dt, usar v=L\,di/dt, p=v i e w=\tfrac{1}{2}L i^2. Vai dar certo!

Resposta

t=0{,}6\\ \mathrm{s}:\quad v=0{,}4\\ \mathrm{V},\quad p=0{,}96\\ \mathrm{W},\quad w=0{,}288\\ \mathrm{J}
t=1{,}2\\ \mathrm{s}:\quad v=0\\ \mathrm{V},\quad p=0\\ \mathrm{W},\quad w=0{,}8\\ \mathrm{J}

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