Um transformador abaixador de 500 \mathrm{kVA}, 60 \mathrm{~Hz}, 2300 / 230 \mathrm{~V} tem os seguintes parâmetros: \mathrm{r} 1=0,1 \Omega, \mathrm{XL} 1=0,3 \Omega, \mathrm{r} 2=0,001 \Omega, \mathrm{XL} 2=0,003 \Omega. Quando o transformador é usado como abaixador e está com carga nominal, calcule:
a. As correntes primária e secundária.
b. As impedâncias internas primária e secundária.
c. As quedas internas de tensão primária e secundária.
d. As fem induzidas primária e secundária, imaginando-se que a tensões nos terminais estejam em fase.
e. A relação entre as fem induzidas primária e secundária e entre as respectivas tensões terminais.

Passo 1

O enunciado pede os seguintes itens quando o transformador está em carga nominal:
  • (a) as correntes primária e secundária;
  • (b) as impedâncias internas primária e secundária;
  • (c) as quedas internas de tensão primária e secundária;
  • (d) as f.e.m. induzidas primária e secundária, imaginando que as tensões nos terminais estejam em fase;
  • (e) a relação entre as f.e.m. induzidas primária e secundária e a relação entre as tensões terminais.
Dados fornecidos (peguei os números do enunciado):
  • Potência nominal S=500\\ \text{kVA}=500000\\ \text{VA}.
  • Frequência 60\\ \text{Hz} (não é necessária para os cálculos pedidos).
  • Tensões nominais V_1=2300\\ \text{V} (primário, lado de alta) e V_2=230\\ \text{V} (secundário, lado de baixa).
  • Resistências e reatâncias das bobinas (referidas a seus próprios lados):
    • r_1=0,1\\ \Omega,\; X_{L1}=0,3\\ \Omega.
    • r_2=0,001\\ \Omega,\; X_{L2}=0,003\\ \Omega.
Observações/pressupostos necessários para a resolução:
  • Para definir as fases e calcular f.e.m., vou usar a hipótese indicada no item (d): as tensões terminais V_1 e V_2 estão em fase (ambas com ângulo 0^\circ).
  • Para poder multiplicar correntes por impedâncias como fasores, assumirei carga com fator de potência unitário (carga resistiva), ou seja, as correntes I_1 e I_2 estarão em fase com as tensões terminais (ângulo 0^\circ). Se o fator de potência fosse diferente, seriam necessárias as informações de ângulo de corrente; como não foi dado, essa é a suposição padrão prática para exercícios.

Passo 2

Cálculo das correntes nominais (passo didático: para carga nominal, a corrente nominal é a potência aparente dividida pela tensão nominal; para uma única fase usa-se S=V I, onde S é em VA, V em V e I em A).
I_1=\frac{S}{V_1},\qquad I_2=\frac{S}{V_2}.
Substituindo:
I_1=\frac{500000}{2300} \\ \text{A} = 217{,}3913043\\ \text{A}\approx 217{,}39\\ \text{A},
I_2=\frac{500000}{230} \\ \text{A} = 2173{,}9130435\\ \text{A}\approx 2173{,}91\\ \text{A}.
Explicação: S é a potência aparente que atravessa cada enrolamento (em valor nominal), por isso a relação simples S=V\cdot I.

Passo 3

Impedâncias internas de cada enrolamento (definição e cálculo de módulo e fase).
Cada impedância é a soma da resistência (parte real) e da reatância indutiva (parte imaginária):
Z_1=r_1+jX_{L1}=0{,}1+j0{,}3\\ \Omega,
Z_2=r_2+jX_{L2}=0{,}001+j0{,}003\\ \Omega.
Cálculo dos módulos e ângulos (útil para interpretar quedas em magnitude e defasagem):
|Z_1|=\sqrt{0{,}1^2+0{,}3^2}=\sqrt{0{,}01+0{,}09}=\sqrt{0{,}10}=0{,}3162278\\ \Omega,
\angle Z_1=\arctan\!\left(\frac{0{,}3}{0{,}1}\right)=\arctan(3)=71{,}565^\circ.
|Z_2|=\sqrt{0{,}001^2+0{,}003^2}=\sqrt{10^{-6}+9\times10^{-6}}=\sqrt{10^{-5}}=0{,}0031623\\ \Omega,
\angle Z_2=\arctan\!\left(\frac{0{,}003}{0{,}001}\right)=\arctan(3)=71{,}565^\circ.
Comentário didático: a parte real r causa queda resistiva (em fase com a corrente) e a parte imaginária jX_L causa queda em quadratura (tensão indutiva segue a corrente em +90^\circ). Por isso as impedâncias têm ângulo positivo.

Passo 4

Quedas internas de tensão como fasores (multiplicação da corrente pelo respectivo Z). Fórmulas:
\Delta V_1 = I_1 Z_1,\qquad \Delta V_2 = I_2 Z_2.
Como adotei I_1 e I_2 em fase com as tensões (ângulo 0^\circ), posso multiplicar o módulo da corrente pelo número complexo da impedância diretamente.
Cálculo para o primário:
\Delta V_1 = I_1(0{,}1+j0{,}3)=217{,}3913043\cdot(0{,}1+j0{,}3).
Partes real e imaginária:
\Re(\Delta V_1)=217{,}3913043\cdot0{,}1=21{,}73913043\\ \text{V},
\Im(\Delta V_1)=217{,}3913043\cdot0{,}3=65{,}21739130\\ \text{V}.
Assim o fasor:
\Delta V_1=21{,}73913 + j65{,}21739\\ \text{V}.
Módulo e ângulo:
|\Delta V_1|=\sqrt{21{,}73913^2+65{,}21739^2}\approx68{,}7649\\ \text{V}, \quad \angle\Delta V_1=71{,}565^\circ.
Cálculo para o secundário:
\Delta V_2 = I_2(0{,}001+j0{,}003)=2173{,}9130435\cdot(0{,}001+j0{,}003).
Partes real e imaginária:
\Re(\Delta V_2)=2173{,}9130435\cdot0{,}001=2{,}1739130435\\ \text{V},
\Im(\Delta V_2)=2173{,}9130435\cdot0{,}003=6{,}5217391305\\ \text{V}.
Fasor:
\Delta V_2=2{,}173913 + j6{,}521739\\ \text{V}.
Módulo e ângulo:
|\Delta V_2|\approx6{,}87649\\ \text{V},\quad \angle\Delta V_2=71{,}565^\circ.
Interpretação didática: as quedas são muito maiores no primário em volts absolutos? Na verdade o módulo da queda primária é maior que a secundária porque a corrente primária é menor, mas a impedância primária é muito maior; já a queda secundária é pequena em volts, mas em relação à tensão secundária (230 V) é um percentual relevante.

Passo 5

Cálculo das f.e.m. induzidas E_1 e E_2 (explicação de sinal e fórmula):
  • No primário, a tensão terminal aplicada V_1 deve vencer a queda na impedância do enrolamento e a f.e.m. induzida. Em fasores:
V_1 = E_1 + \Delta V_1 \quad\Rightarrow\quad E_1 = V_1 - \Delta V_1.
  • No secundário, a f.e.m. induzida fornece a tensão terminal depois de descontar a queda no enrolamento; portanto:
V_2 = E_2 - \Delta V_2 \quad\Rightarrow\quad E_2 = V_2 + \Delta V_2.
(Aquelas expressões são convencionais: no primário a queda I_1 Z_1 soma ao lado de E para compor V_1; no secundário a diferença é que o terminal fica abaixo de E_2 por causa da queda, então E_2=V_2+\Delta V_2.)
Agora substituo números (com as tensões terminais em fase e com ângulo zero: V_1=2300\angle0^\circ, V_2=230\angle0^\circ).
Primário:
E_1=2300 - (21{,}73913 + j65{,}21739) = 2278{,}26087 - j65{,}21739\\ \text{V}.
Módulo e ângulo:
|E_1|=\sqrt{2278{,}26087^2+(-65{,}21739)^2}\approx2279{,}4369\\ \text{V}, \quad \angle E_1=\arctan\!\left(\frac{-65{,}21739}{2278{,}26087}\right)\approx -1{,}639^\circ.
Secundário:
E_2=230 + (2{,}173913 + j6{,}521739)=232{,}173913 + j6{,}521739\\ \text{V}.
Módulo e ângulo:
|E_2|\approx\sqrt{232{,}173913^2+6{,}521739^2}\approx232{,}2618\\ \text{V}, \quad \angle E_2=\arctan\!\left(\frac{6{,}521739}{232{,}173913}\right)\approx 1{,}608^\circ.
Interpretação: as f.e.m. induzidas não ficam exatamente na mesma razão exata de 10 porque as quedas nas impedâncias alteram as magnitudes e fases; percebe-se uma pequena defasagem de alguns graus entre E_1 e E_2.

Passo 6

Relações entre as f.e.m. e entre as tensões terminais:
  • Razão entre as tensões nominais dos terminais (e também entre as tensões abertas nominais) é exatamente a relação de transformação nominal:
\frac{V_1}{V_2}=\frac{2300}{230}=10{,}0.
  • Razão entre as f.e.m. induzidas (módulos) encontrada numericamente:
\frac{|E_1|}{|E_2|}=\frac{2279{,}4369}{232{,}2618}\approx 9{,}811.
Também é possível dar a relação fasorial aproximada:
\frac{E_1}{E_2}\approx 9{,}811\angle(-3{,}247^\circ)
pois \angle E_1\approx -1{,}639^\circ e \angle E_2\approx +1{,}608^\circ, diferença de ângulo cerca de -3{,}247^\circ.
Comentário final didático: idealmente, sem quedas ôhmicas e reativas, a relação entre as f.e.m. seguiria exatamente a relação de espiras a=N_1/N_2 e as f.e.m. seriam exatamente a vezes menores do primário para o secundário; na prática as quedas internas reduzem ligeiramente essa razão e introduzem pequeno desvio de fase.

Resposta

(a) I_1=\dfrac{500000}{2300}=217{,}3913043\\ \text{A}\approx217{,}39\\ \text{A}
\quad I_2=\dfrac{500000}{230}=2173{,}9130435\\ \text{A}\approx2173{,}91\\ \text{A}
(b) Z_1=0{,}1+j0{,}3\\ \Omega,\quad |Z_1|=0{,}3162278\\ \Omega,\\ \angle Z_1=71{,}565^\circ
\quad Z_2=0{,}001+j0{,}003\\ \Omega,\quad |Z_2|=0{,}0031623\\ \Omega,\\ \angle Z_2=71{,}565^\circ
(c) \Delta V_1=I_1Z_1=21{,}73913 + j65{,}21739\\ \text{V},\quad |\Delta V_1|\approx68{,}7649\\ \text{V},\\ \angle\Delta V_1=71{,}565^\circ
\quad \Delta V_2=I_2Z_2=2{,}173913 + j6{,}521739\\ \text{V},\quad |\Delta V_2|\approx6{,}87649\\ \text{V},\\ \angle\Delta V_2=71{,}565^\circ
(d) E_1=V_1-\Delta V_1=2278{,}26087 - j65{,}21739\\ \text{V},\quad |E_1|\approx2279{,}4369\\ \text{V},\\ \angle E_1\approx-1{,}639^\circ
\quad E_2=V_2+\Delta V_2=232{,}173913 + j6{,}521739\\ \text{V},\quad |E_2|\approx232{,}2618\\ \text{V},\\ \angle E_2\approx+1{,}608^\circ
(e) \dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{2300}{230}=10{,}0 (relação nominal dos terminais)
\quad \dfrac{|E_1|}{|E_2|}\approx\dfrac{2279{,}4369}{232{,}2618}\approx9{,}811 (relação entre as f.e.m. obtida com as quedas internas)

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