5- A corrente passando em um indutor de 0,1 \mathrm{H} é
i(t)=10 t e^{-5 t} \mathrm{~A}
Determine a tensão no indutor e a energia armazenada.
Sol: e^{-5 t}(1-5 t) \mathrm{V} \quad 5 t^{2} e^{-10 t} \mathrm{~J}

Passo 1

O enunciado dá a corrente num indutor e pede duas coisas. Vou listar claramente o que foi informado e o que precisa ser encontrado.
  • Corrente fornecida (peguei do enunciado): i(t)=10\,t\,e^{-5t}\\ \mathrm{A}.
  • Indutância fornecida (peguei do enunciado): L=0{,}1\\ \mathrm{H}.
  • O enunciado pede:
    1. A tensão no indutor v(t).
    2. A energia armazenada no indutor w(t).

Passo 2

Fórmula que liga tensão e corrente num indutor (a fórmula fundamental). Explicação didática: a tensão em um indutor é proporcional à taxa de variação da corrente com o tempo. A relação é
v(t)=L\,\frac{di(t)}{dt},
onde:
  • v(t) é a tensão no indutor em volts ( \mathrm{V}),
  • L é a indutância em henry ( \mathrm{H}),
  • \dfrac{di(t)}{dt} é a derivada temporal da corrente, ou seja, a velocidade com que a corrente muda em \mathrm{A/s}.
Vou usar essa fórmula para achar v(t). Antes preciso calcular \dfrac{di(t)}{dt}.

Passo 3

Como calcular a derivada \dfrac{d}{dt}\big(10\,t\,e^{-5t}\big). Regras que vou usar:
  • Regra do produto: se f(t)=u(t)\,v(t), então f'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
  • Regra da cadeia para exponencial: se v(t)=e^{g(t)}, então v'(t)=g'(t)\,e^{g(t)}.
Aplicando à nossa função i(t)=10\cdot\big(t\cdot e^{-5t}\big). Primeiro trato o fator constante 10 fora da derivada:
\frac{di(t)}{dt}=10\cdot\frac{d}{dt}\big(t\,e^{-5t}\big).
Agora uso a regra do produto com u(t)=t e v(t)=e^{-5t}:
\frac{d}{dt}\big(t\,e^{-5t}\big)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
Aqui u'(t)=1. Para v'(t) uso regra da cadeia: v'(t)=(-5)\,e^{-5t}.
Portanto
\frac{d}{dt}\big(t\,e^{-5t}\big)=1\cdot e^{-5t}+t\cdot(-5)\,e^{-5t}=e^{-5t}-5t\,e^{-5t}.
Multiplicando pelo 10 que ficou fora:
\frac{di(t)}{dt}=10\big(e^{-5t}-5t\,e^{-5t}\big)=10\,e^{-5t}\big(1-5t\big).

Passo 4

Substituir \dfrac{di}{dt} na fórmula da tensão: v(t)=L\frac{di}{dt}. Usando L=0{,}1\\ \mathrm{H} e o resultado do passo anterior:
v(t)=0{,}1\cdot\big(10\,e^{-5t}(1-5t)\big).
Multiplico os coeficientes numéricos:
0{,}1\cdot 10 = 1,
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v(t)=1\cdot e^{-5t}\big(1-5t\big).
Portanto a tensão é
v(t)=e^{-5t}\big(1-5t\big)\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Fórmula para a energia armazenada em um indutor. Explicação didática: a energia magnética acumulada num indutor depende do quadrado da corrente e da indutância. A expressão é
w(t)=\tfrac{1}{2}L\,i(t)^2,
onde:
  • w(t) é a energia em joules ( \mathrm{J}),
  • L é a indutância em henry ( \mathrm{H}),
  • i(t) é a corrente em ampère ( \mathrm{A}).
Vou aplicar essa fórmula com i(t)=10\,t\,e^{-5t} e L=0{,}1\\ \mathrm{H}.

Passo 6

Calcular w(t)=\tfrac{1}{2}L\,i(t)^2 passo a passo.
Primeiro escrevo i(t)^2:
i(t)^2=\big(10\,t\,e^{-5t}\big)^2=100\,t^2\,e^{-10t},
pois (e^{-5t})^2=e^{-10t} e 10^2=100.
Agora:
w(t)=\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}1\cdot 100\,t^2\,e^{-10t}.
Calculo o produto dos coeficientes numéricos:
\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}1\cdot 100 = 0{,}5\cdot 0{,}1\cdot 100 = 0{,}05\cdot 100 = 5.
(ou mais direto: \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}1 = 0{,}05, e 0{,}05\cdot 100=5.)
Portanto
w(t)=5\,t^2\,e^{-10t}\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Verificação rápida das unidades e comportamento:
  • v(t) está em volts porque L em henry multiplicado por \dfrac{di}{dt} em A/s dá V.
  • w(t) está em joules porque L em henry vezes i^2 em A^2 dá J (e o fator 1/2 é adimensional).
    Também é útil notar qualitativamente: a tensão muda de sinal dependendo do termo (1-5t); isso indica que para t<\tfrac{1}{5} a tensão tem sinal positivo e para t>\tfrac{1}{5} tem sinal negativo — interpretação física: indutor reage à variação da corrente.

Resposta

v(t)=e^{-5t}\big(1-5t\big)\\ \mathrm{V}
w(t)=5\,t^{2}\,e^{-10t}\\ \mathrm{J}

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