Uma corrente senoidal tem amplitude de 20 A . A corrente passa por um ciclo completo em 1 ms . O valor da corrente em t=0 s é 10 A .
a) Qual a frequência da corrente, em Hertz?
b) Qual a frequência angular, em \mathrm{rad} / \mathrm{s} ?
c) Escreva a função i(t) usando as funções seno e co-seno.

Passo 1

O enunciado dá uma corrente senoidal de amplitude 20 A que completa um ciclo em 1\text{ ms} e satisfaz i(0)=10 A. Queremos:
– a frequência f (Hz),
– a frequência angular \omega (rad/s),
– a expressão i(t) em termos de seno e cosseno, encontrando a fase inicial.

Passo 2

O período vale
T = 1\text{ ms} = 1\times 10^{-3}\text{ s},
logo a frequência é
f = \frac{1}{T} = \frac{1}{1\times10^{-3}} = 1000\text{ Hz}.

Passo 3

A frequência angular é
\omega = 2\pi f = 2\pi \times 1000 = 2000\pi\;\text{rad/s}.

Passo 4

Escrevendo a corrente como i(t)=A\sin(\omega t+\varphi) com A=20, em t=0 temos
i(0)=20\sin(\varphi)=10 \quad\Longrightarrow\quad \sin(\varphi)=\frac{10}{20}=\tfrac12.
A solução principal é \varphi=\tfrac{\pi}{6} rad.

Passo 5

Assim, em forma de seno:
i(t)=20\sin\!\bigl(2000\pi\,t + \tfrac{\pi}{6}\bigr).

Passo 6

Para escrever em cosseno, note que \sin(x+\tfrac{\pi}{6})=\cos\bigl(x+\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\cos\bigl(x-\tfrac{\pi}{3}\bigr).
Logo:
i(t)=20\cos\!\bigl(2000\pi\,t - \tfrac{\pi}{3}\bigr).

Resposta

a) f = 1000\text{ Hz}.
b) \omega = 2000\pi\text{ rad/s}.
c)
i(t)=20\sin\!\bigl(2000\pi\,t + \tfrac{\pi}{6}\bigr) \quad\text{ou}\quad i(t)=20\cos\!\bigl(2000\pi\,t - \tfrac{\pi}{3}\bigr).

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