Determine o valor das incógnitas “a” e " \beta " na equação abaixo:
a+10+j 50=100 * \cos \beta+j 100 * \operatorname{sen} \beta

Passo 1

O enunciado nos dá a igualdade entre números complexos
a + 10 + j\,50 = 100\cos\beta + j\,100\sin\beta
e pede para encontrar a parte real a e o ângulo \beta. Para isso, vamos separar em parte real e imaginária e igualar as duas expressões.

Passo 2

Igualando as partes imaginárias, temos
50 = 100\sin\beta
Dessa equação, extraímos \sin\beta.

Passo 3

De \displaystyle 50 = 100\sin\beta segue
\sin\beta = \frac{50}{100} = \tfrac12.
Isso dá as soluções gerais
\beta = 30^\circ + 360^\circ k \quad\text{ou}\quad \beta = 150^\circ + 360^\circ k,
com k\in\mathbb{Z}. Tomando o valor principal mais usado em problemas de circuitos, escolhemos
\beta = 30^\circ.

Passo 4

Agora igualamos as partes reais:
a + 10 = 100\cos\beta.
Substituindo \beta=30^\circ e \cos30^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}, obtemos
a + 10 = 100\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 50\sqrt{3},
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a = 50\sqrt{3} - 10.

Resposta

a = 50\sqrt{3} - 10,\quad \beta = 30^\circ

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