A corrente nos terminais de um elemento é expressa por
i(t)=\left\{\begin{array}{l} 0, \text { se } t<0 \\\\ 20 e^{-5000 t} \mathrm{~A}, \text { se } t \geq 0 \end{array}\right.
Calcule a carga total, em \mu \mathrm{C}, que entrou no elemento.

Passo 1

O enunciado dá a corrente nos terminais do elemento como função do tempo:
i(t)=\begin{cases} 0, & \text{se } t<0,\\[4pt] 20\,e^{-5000 t}\\ \text{A}, & \text{se } t\ge 0. \end{cases}
A pergunta é: calcular a carga total que entrou no elemento, expressa em \mu\mathrm{C}.
Informações relevantes do enunciado:
  • Para t<0 a corrente é zero.
  • Para t\ge 0 a corrente é \;20\,e^{-5000 t}\\ \text{A}.
  • Pedido: carga total que entrou no elemento (em \mu\mathrm{C}).]

Passo 2

Conceito que usamos: carga elétrica acumulada é a integral da corrente no tempo. Ou seja, a carga total que entrou é
q=\int_{-\infty}^{\infty} i(t)\,dt.
Explicando: corrente i(t) tem unidade de ampère ( \mathrm{A}), que é coulomb por segundo ( \mathrm{C/s}). Integrando em tempo ( \mathrm{s}) obtemos coulombs ( \mathrm{C}), que é a unidade de carga.
Como i(t)=0 para t<0, a integral reduz-se a integrar de 0 a \infty:
q=\int_{0}^{\infty} 20\,e^{-5000 t}\,dt.

Passo 3

Resolver a integral. Lembra da fórmula básica de integração de exponencial:
\int e^{-a t}\,dt = -\frac{1}{a}\,e^{-a t}\qquad(\text{para }a>0).
Aqui a=5000. Então uma primitiva de 20\,e^{-5000 t} é
\int 20\,e^{-5000 t}\,dt = 20\left(-\frac{1}{5000}\right)e^{-5000 t} = -\frac{20}{5000}\,e^{-5000 t}.
Agora aplicamos os limites impróprios:
q=\lim_{T\to\infty}\left[-\frac{20}{5000}\,e^{-5000 t}\right]_{t=0}^{t=T} = \lim_{T\to\infty}\left(-\frac{20}{5000}e^{-5000T}\right) - \left(-\frac{20}{5000}e^{0}\right).
Como \displaystyle\lim_{T\to\infty}e^{-5000T}=0, obtemos
q = 0 + \frac{20}{5000} = \frac{20}{5000}\\ \text{C}.

Passo 4

Simplificar o valor e converter para microcoulombs. Primeiro simplificação:
\frac{20}{5000}=\frac{1}{250}=0,004\\ \text{C}.
(Se preferir pensar em tempo característico: \tau=\tfrac{1}{5000}=0,0002\\ \text{s} e q\approx i(0)\tau=20\cdot0,0002=0,004\\ \text{C}, mesmo resultado.)
Converter para \mu\mathrm{C}: 1\\ \text{C}=10^{6}\\ \mu\mathrm{C}, logo
q = 0,004\times 10^{6} = 4000\\ \mu\mathrm{C}.

Passo 5

Interpretação rápida e verificação: o sinal positivo indica que 4{,}0\times10^{-3}\\ \text{C} (ou 4000\\ \mu\mathrm{C}) entrou no elemento ao longo do processo. Checagem por ordem de grandeza: corrente inicial alta ( 20\\ \mathrm{A}) e decaimento muito rápido ( \tau=0,2\\ \text{ms}) dão produto da mesma ordem 20\times0{,}0002=0{,}004\\ \text{C}, consistente com o cálculo exato.

Resposta

4000\\ \mu\mathrm{C}

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