Um condutor de cobre (
e
) tem seção transversal quadrada com lado
. Em qual frequência sua resistência em corrente alternada é 42,3 vezes maior que sua resistência em corrente contínua?
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma única coisa:
- Condutor de cobre com condutividade
. -
. - Seção transversal quadrada com lado
. - Pergunta: em qual frequência a resistência em corrente alternada é
vezes maior que a resistência em corrente contínua, ou seja, encontrar tal que
Passo 2
Conceitos e fórmulas fundamentais que vamos usar (explicação didática):
- Resistência DC de um fio de comprimento
e área da seção :
onde
é a resistividade elétrica do material. Como
é a condutividade,
.
- Efeito pele (skin effect): em corrente alternada de alta frequência, a corrente fica confinada numa camada superficial de espessura caracterizada pela profundidade de penetração (skin depth)
. A expressão básica é
onde
é a frequência angular,
é a permeabilidade magnética do material e
é a condutividade. Substituindo
obtemos uma forma prática:
Explicando cada símbolo:
é a frequência em hertz,
é a permeabilidade do vácuo,
é a permeabilidade relativa (aqui
), e
é a condutividade.
Passo 3
Como aproximamos
para um fio de seção quadrada:
- Física/intuïção: quando
é muito menor que a dimensão do condutor, a corrente circula apenas numa camada de espessura ao longo da superfície. Para uma seção quadrada de lado (assumindo ), a área efetiva de condução sob skin effect é aproximadamente a área dessa camada superficial:
- A resistência AC então fica aproximadamente
- Tomando a razão com
(a área DC é ), obtemos (as e cancelam):
Portanto, para
a razão é bem aproximada por
.
Passo 4
Relacionar a razão desejada com
e calcular
.
- Igualando
obtemos
- Converter
para metros: . - Calcular numericamente:
Passo 5
Usar a expressão de
para obter a frequência
.
- Reescrever a fórmula de
:
- Aqui
. - Calcular
:
- Calcular o denominador
passo a passo:
- Avaliando numericamente (mostrar cálculo):
- Portanto
Ou seja, aproximadamente
.
Passo 6
Verificação da hipótese
:
ou seja,
é cerca de
de
. A aproximação
é totalmente válida; o resultado é consistente.