Um condutor de cobre ( \sigma=5,8 \times 10^{7} \mathrm{~S} / \mathrm{m} e \mu_{\mathrm{r}}=1 ) tem seção transversal quadrada com lado a=5 \mathrm{~mm}. Em qual frequência sua resistência em corrente alternada é 42,3 vezes maior que sua resistência em corrente contínua?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma única coisa:
  • Condutor de cobre com condutividade \sigma = 5{,}8\times 10^{7}\\ \mathrm{S/m}.
  • \mu_{\mathrm{r}} = 1.
  • Seção transversal quadrada com lado a = 5\\ \mathrm{mm}.
  • Pergunta: em qual frequência a resistência em corrente alternada é 42{,}3 vezes maior que a resistência em corrente contínua, ou seja, encontrar f tal que
\frac{R_{\mathrm{AC}}}{R_{\mathrm{DC}}}=42{,}3.

Passo 2

Conceitos e fórmulas fundamentais que vamos usar (explicação didática):
  • Resistência DC de um fio de comprimento L e área da seção A:
R_{\mathrm{DC}}=\rho\frac{L}{A},
onde \rho é a resistividade elétrica do material. Como \sigma é a condutividade, \rho=\dfrac{1}{\sigma}.
  • Efeito pele (skin effect): em corrente alternada de alta frequência, a corrente fica confinada numa camada superficial de espessura caracterizada pela profundidade de penetração (skin depth) \delta. A expressão básica é
\delta=\sqrt{\frac{2}{\omega\mu\sigma}},
onde \omega=2\pi f é a frequência angular, \mu=\mu_0\mu_{\mathrm{r}} é a permeabilidade magnética do material e \sigma é a condutividade. Substituindo \omega obtemos uma forma prática:
\delta=\sqrt{\frac{1}{\pi f \mu \sigma}}.
Explicando cada símbolo: f é a frequência em hertz, \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m} é a permeabilidade do vácuo, \mu_{\mathrm{r}} é a permeabilidade relativa (aqui 1), e \sigma é a condutividade.

Passo 3

Como aproximamos R_{\mathrm{AC}} para um fio de seção quadrada:
  • Física/intuïção: quando \delta é muito menor que a dimensão do condutor, a corrente circula apenas numa camada de espessura \sim\delta ao longo da superfície. Para uma seção quadrada de lado a (assumindo \delta\ll a), a área efetiva de condução sob skin effect é aproximadamente a área dessa camada superficial:
A_{\mathrm{eff}}\approx\text{perímetro}\times \delta = 4a\delta.í
  • A resistência AC então fica aproximadamente
R_{\mathrm{AC}}\approx \rho\frac{L}{A_{\mathrm{eff}}}=\rho\frac{L}{4a\delta}.
  • Tomando a razão com R_{\mathrm{DC}}=\rho\frac{L}{a^{2}} (a área DC é a^{2}), obtemos (as \rho e L cancelam):
\frac{R_{\mathrm{AC}}}{R_{\mathrm{DC}}}=\frac{\rho\frac{L}{4a\delta}}{\rho\frac{L}{a^{2}}}=\frac{a^{2}}{4a\delta}=\frac{a}{4\delta}.
Portanto, para \delta\ll a a razão é bem aproximada por \dfrac{a}{4\delta}.

Passo 4

Relacionar a razão desejada com \delta e calcular \delta.
  • Igualando \dfrac{a}{4\delta}=42{,}3 obtemos
\delta=\frac{a}{4\cdot 42{,}3}.
  • Converter a para metros: a=5\\ \mathrm{mm}=5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Calcular numericamente:
\delta=\frac{5\times10^{-3}}{4\cdot 42{,}3}=\frac{5\times10^{-3}}{169{,}2}\approx 2{,}955\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Usar a expressão de \delta para obter a frequência f.
  • Reescrever a fórmula de \delta:
\delta=\sqrt{\frac{1}{\pi f \mu \sigma}}\quad\Longrightarrow\quad f=\frac{1}{\pi \mu \sigma \delta^{2}}.
  • Aqui \mu=\mu_0\mu_{\mathrm{r}}=\left(4\pi\times10^{-7}\right)\cdot 1=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
  • Calcular \delta^{2}:
\delta^{2}\approx(2{,}955\times10^{-5})^{2}\approx 8{,}733\times10^{-10}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Calcular o denominador \pi\mu\sigma\delta^{2} passo a passo:
\pi\mu\sigma\delta^{2}=\pi\cdot(4\pi\times10^{-7})\cdot(5{,}8\times10^{7})\cdot(8{,}733\times10^{-10}).
  • Avaliando numericamente (mostrar cálculo):
\pi\mu\sigma\delta^{2}=4\pi^{2}\times10^{-7}\times 5{,}8\times10^{7}\times 8{,}733\times10^{-10}\approx 1{,}9994\times10^{-7}.
  • Portanto
f=\frac{1}{\pi\mu\sigma\delta^{2}}\approx \frac{1}{1{,}9994\times10^{-7}}\approx 5{,}00\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}.
Ou seja, aproximadamente 5{,}00\\ \mathrm{MHz}.

Passo 6

Verificação da hipótese \delta\ll a:
\frac{\delta}{a}\approx\frac{2{,}955\times10^{-5}}{5\times10^{-3}}\approx \frac{1}{169}\approx 0{,}0059,
ou seja, \delta é cerca de 0{,}59\% de a. A aproximação A_{\mathrm{eff}}\approx 4a\delta é totalmente válida; o resultado é consistente.

Resposta

f\approx 5{,}00\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}=5{,}00\\ \mathrm{MHz}

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