(CPCON, 2019) O valor da expressão
\frac{789^{3}+789^{2}-4 \times 790}{790 \times 791}
é:
(A) 791 .
(B) 789 .
(C) 790 .
(D) 788 .
(E) 787 .

Passo 1

O enunciado pede o valor da expressão
\frac{789^{3}+789^{2}-4 \times 790}{790 \times 791}.
Dados importantes fornecidos:
  • Os números envolvidos são 789, 790 e 791.
  • A tarefa é simplificar essa fração e obter um número inteiro (uma das alternativas).

Passo 2

Para simplificar, usa-se uma substituição que torna a álgebra mais clara. Defina
n = 789.
Substituindo na expressão temos:
\text{numerador} = n^{3}+n^{2}-4\cdot 790 = n^{3}+n^{2}-4(n+1),
\text{denominador} = 790\cdot791 = (n+1)(n+2).

Passo 3

Agora olhamos para o numerador e tentamos fatorar por agrupamento. Escrevemos os quatro termos agrupando os dois primeiros e os dois últimos:
n^{3}+n^{2}-4n-4 = \bigl(n^{3}+n^{2}\bigr) + \bigl(-4n-4\bigr).
Fatorando o fator comum em cada grupo:
n^{3}+n^{2} = n^{2}(n+1), \qquad -4n-4 = -4(n+1).

Passo 4

Como ambos os grupos têm o fator comum (n+1), fatoramos esse termo:
n^{3}+n^{2}-4n-4 = n^{2}(n+1)-4(n+1) = (n+1)\bigl(n^{2}-4\bigr).

Passo 5

Reconhecemos que n^{2}-4 é uma diferença de quadrados. Lembrando a identidade
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b),
com a=n e b=2 obtemos
n^{2}-4=(n-2)(n+2).
Portanto o numerador fatorado passa a ser
(n+1)(n-2)(n+2).

Passo 6

Reescrevendo a fração com as fatorações encontradas:
\frac{789^{3}+789^{2}-4 \times 790}{790 \times 791} = \frac{(n+1)(n-2)(n+2)}{(n+1)(n+2)}.
Agora cancelam-se os fatores comuns (n+1) e (n+2), já que são diferentes de zero:
\frac{(n+1)(n-2)(n+2)}{(n+1)(n+2)} = n-2.

Passo 7

Substituindo n=789 de volta:
n-2 = 789-2 = 787.

Resposta

\,787