Um cultivo de bactérias foi infectada por um contaminante, cuja concentração, esta dada por
.
(a) Se uma bactéria encontra-se no ponto
, qual é a direção e sentido de maior concentração do contaminante?
(b) Qual a taxa de concentração de contaminante nesta direção?
(a) Se uma bactéria encontra-se no ponto
(b) Qual a taxa de concentração de contaminante nesta direção?
Passo 1
O enunciado dá a concentração do contaminante como
e pergunta:
– (a) em que direção (e sentido) a concentração cresce mais rápido no ponto ;
– (b) qual é a taxa de variação máxima nessa direção.
Para isso vamos usar o conceito de gradiente: aponta na direção de maior crescimento, e o seu módulo é a taxa máxima de variação direcional.
– (a) em que direção (e sentido) a concentração cresce mais rápido no ponto
– (b) qual é a taxa de variação máxima nessa direção.
Para isso vamos usar o conceito de gradiente:
Passo 2
Calcular o gradiente de
. Definindo
temos
Pela regra da cadeia,
Usando
, podemos escrever
Passo 3
Avaliar
em
. Primeiro
logo
. Além disso, em
temos
e
. Portanto
Passo 4
A direção de maior aumento é a direção do vetor gradiente em
, isto é
O sentido depende do sinal de
. Como
, a direção de maior aumento real aponta para
O vetor unitário nessa direção é
Passo 5
A taxa máxima de variação direcional é o módulo de
:
Resposta
(a) A direção de maior crescimento é a do vetor
, que numericamente aponta aproximadamente para
. O sentido é no sentido desse vetor (já que
).
(b) A taxa máxima de variação nessa direção é .
(b) A taxa máxima de variação nessa direção é