Um cultivo de bactérias foi infectada por um contaminante, cuja concentração, esta dada por f(x, y)=2+4 \sin ^{2}(x+3 y+8 x y).
(a) Se uma bactéria encontra-se no ponto (0,2), qual é a direção e sentido de maior concentração do contaminante?
(b) Qual a taxa de concentração de contaminante nesta direção?

Passo 1

O enunciado dá a concentração do contaminante como
f(x,y)=2+4\sin^2\bigl(x+3y+8xy\bigr)
e pergunta:
– (a) em que direção (e sentido) a concentração cresce mais rápido no ponto (0,2);
– (b) qual é a taxa de variação máxima nessa direção.
Para isso vamos usar o conceito de gradiente: \nabla f aponta na direção de maior crescimento, e o seu módulo é a taxa máxima de variação direcional.

Passo 2

Calcular o gradiente de f. Definindo
u(x,y)=x+3y+8xy,
temos
f(x,y)=2+4\sin^2\bigl(u(x,y)\bigr).
Pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial x} =4\cdot 2\sin(u)\cos(u)\,\frac{\partial u}{\partial x} =8\sin(u)\cos(u)\,(1+8y),
\frac{\partial f}{\partial y} =8\sin(u)\cos(u)\,\frac{\partial u}{\partial y} =8\sin(u)\cos(u)\,(3+8x).
Usando 2\sin(u)\cos(u)=\sin(2u), podemos escrever
\nabla f(x,y)=\bigl(4(1+8y)\sin(2u),\,4(3+8x)\sin(2u)\bigr).

Passo 3

Avaliar \nabla f em (0,2). Primeiro
u(0,2)=0+3\cdot2+8\cdot0\cdot2=6,
logo \sin(2u)=\sin(12). Além disso, em (0,2) temos 1+8y=17 e 3+8x=3. Portanto
\nabla f(0,2) =\bigl(4\cdot17\,\sin(12),\,4\cdot3\,\sin(12)\bigr) =\bigl(68\sin(12),\,12\sin(12)\bigr).

Passo 4

A direção de maior aumento é a direção do vetor gradiente em (0,2), isto é
\nabla f(0,2)=(68\sin(12),\,12\sin(12)).
O sentido depende do sinal de \sin(12). Como \sin(12)<0, a direção de maior aumento real aponta para
(68\sin(12),\,12\sin(12)) \approx(-36{,}5,\,-6{,}4).
O vetor unitário nessa direção é
\mathbf{u} =\frac{\nabla f(0,2)}{\|\nabla f(0,2)\|} =\frac{(68\sin(12),\,12\sin(12))}{\sqrt{(68\sin(12))^2+(12\sin(12))^2}}.

Passo 5

A taxa máxima de variação direcional é o módulo de \nabla f(0,2):
\|\nabla f(0,2)\| =\sqrt{(68\sin(12))^2+(12\sin(12))^2} =|\sin(12)|\sqrt{68^2+12^2} =|\sin(12)|\sqrt{4768} \approx0{,}5366\cdot69{,}07\approx37{,}1.

Resposta

(a) A direção de maior crescimento é a do vetor \bigl(68\sin(12),\,12\sin(12)\bigr), que numericamente aponta aproximadamente para (-36{,}5,\,-6{,}4). O sentido é no sentido desse vetor (já que \sin(12)<0).
(b) A taxa máxima de variação nessa direção é \|\nabla f(0,2)\|\approx37{,}1.

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