(Curso de Hidráulica de Eurico Trindade Neves) Determinar a descarga de um vertedor retangular, com 2 m de crista, situado no centro de um arroio com 4 m de largura, para uma carga de 0,30 \mathrm{~m} sobre a crista.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a descarga que passa sobre um vertedor retangular. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
  • comprimento da crista do vertedor: L=2\\ \mathrm{m}.
  • largura total do arroio: B=4\\ \mathrm{m}. (O vertedor está centrado, ou seja, sobra 1\\ \mathrm{m} de cada lado, informação que pode causar efeitos de contração lateral.)
  • carga (altura de água) sobre a crista: H=0,30\\ \mathrm{m}.
Portanto a pergunta é: qual é a descarga Q (em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}) que passa sobre esse vertedor quando a lâmina sobre a crista é \,0,30\\ \mathrm{m}?

Passo 2

Entendendo a física e a fórmula que a prova costuma pedir (aula rápida e didática).
Um vertedor afiado (sharp-crested weir) pode ser tratado por integração da velocidade ao longo da profundidade: a velocidade em cada pequena faixa depende da energia disponível e, via Torricelli, é aproximadamente v=\sqrt{2g\,y}, onde y é a profundidade medida a partir da crista até a subnível local. Se considerarmos uma faixa horizontal de largura L e espessura dy, o caudal dessa faixa é dQ = v\cdot L\cdot dy = L\sqrt{2g\,y}\,dy. Integrando y de 0 a H obtemos a descarga teórica (sem correções viscousas e de distribuição de velocidade):
Q_{\text{teo}} = L\sqrt{2g}\int_{0}^{H} y^{1/2}\,dy = L\sqrt{2g}\cdot\frac{2}{3}H^{3/2}.
Aqui:
  • Q é a descarga total ( \mathrm{m}^3/\mathrm{s}),
  • L é o comprimento da crista ( \mathrm{m}),
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m}/\mathrm{s}^2), normalmente g=9,81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2,
  • H é a altura sobre a crista ( \mathrm{m}).
Como a teoria ideal costuma superestimar por não considerar perdas e distribuição real de velocidades, introduz-se um coeficiente adimensional de descarga C_d para ajustar a fórmula experimentalmente:
Q = C_d\cdot \frac{2}{3}\,L\sqrt{2g}\;H^{3/2}.
Explicando C_d: é um número (geralmente entre cerca de 0{,}58 e 0{,}64 para vertedores afiados livres) obtido por experiência; ele reúne efeitos de viscosidade, contração e não-idealidades. Uma forma prática muito usada em provas e tabelas é escrever a fórmula como
Q = 1{,}84\,L\,H^{3/2},
onde o fator 1{,}84 já resulta de \left(\dfrac{2}{3}\sqrt{2g}\right)C_d para g=9{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 e C_d\approx 0{,}62. Ou seja, 1{,}84 é o coeficiente prático por metro de crista para vertedores afiados e fluxo livre.
Observação sobre o fato de o vertedor estar no centro do arroio: isso implica duas aberturas laterais (uma de cada lado), produzindo contração lateral. Em muitos exercícios elementares esse efeito fica contido na escolha de C_d (usa-se o valor prático 0{,}62). Se fosse necessário maior refinamento, usar-se-iam correções experimentais; para a prova e para o enunciado dado, usaremos o valor prático padrão.

Passo 3

Vamos montar a conta passo a passo usando a forma prática. Primeiro calculamos H^{3/2}.
H=0{,}30\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad H^{3/2} = (0{,}30)^{1{,}5} = 0{,}30\cdot\sqrt{0{,}30}.
Calculemos numericamente: \sqrt{0{,}30}\approx 0{,}547722, então
H^{3/2} \approx 0{,}30\times 0{,}547722 = 0{,}1643166\\ (\mathrm{m}^{3/2}).

Passo 4

Usando a fórmula prática
Q = 1{,}84\;L\;H^{3/2},
substituímos L=2\\ \mathrm{m} e o valor de H^{3/2} obtido. Primeiro o fator por metro:
1{,}84\cdot L = 1{,}84 \times 2 = 3{,}68.
Agora multiplicamos por H^{3/2}:
Q = 3{,}68 \times 0{,}1643166 \approx 0{,}6047\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

Passo 5

Interpretação e checagem de ordem de grandeza (dica de prova):
  • Se usássemos um C_d um pouco diferente, o resultado mudaria pouco. Por exemplo, com C_d=0{,}60 o coeficiente prático por metro seria \approx 2{,}953\times0{,}60=1{,}77 e então Q\approx 1{,}77\times 2\times0{,}1643\approx 0{,}58\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}. Ou seja, variação pequena (faixa 0{,}58 0{,}61\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}). Isso dá confiança de que o valor obtido está consistente.
  • Observação: se o problema exigisse levar em conta submersão do vertedor (quando o nível abaixo do vertedor é alto o bastante para submergir a placa), outra fórmula com correção seria usada; aqui estamos em regime de fluxo livre sobre a crista (não foi dado sinal de submersão), então a fórmula usada é adequada.

Resposta

Q=0,605\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}

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