A curvatura de uma curva gamma em um dado ponto t é a medida de quão rapidamente a curva muda de direção em t e é dada por
kappa(t)=|T^prime(t)||r^prime(t)|=|r^prime(t) times r^prime prime(t)||r^prime(t)|^3
onde T(t) é o vetor tangente unitário em t.
(a) Mostre que a curvatura de um círculo de raio R é 1 / R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a curvatura de um círculo de raio é . Isso envolve entender o que é curvatura e como calcular usando as fórmulas dadas. Vamos precisar usar a definição de curvatura e algumas propriedades de círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a curvatura kappa(t) = |T'(t)||r'(t)| = |r'(t) times r''(t)||r'(t)|^3 de uma curva é dada por:
Aqui, é o vetor tangente unitário, e é o vetor posição da curva.

Passo 3

Vamos parametrizar o círculo de raio r(t) = ( R cos t, R sin t ) . Uma parametrização comum é:
onde varia de a .

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada r'(t) = ( -R sin t, R cos t ) :
|r'(t)| = raiz(-R sin t)^2 + (R cos t)^2 = raizR^2 sin^2 t + R^2 cos^2 t = R
A norma de é:

Passo 5

Em seguida, calculamos a segunda derivada r''(t) = ( -R cos t, -R sin t ) :

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto vetorial r'(t) times r''(t) = (-R sin t)(-R sin t) - (R cos t)(-R cos t) = R^2 sin^2 t + R^2 cos^2 t = R^2 (sin^2 t + cos^2 t) = R^2 . No caso de curvas no plano, o produto vetorial dá uma componente na direção :
Então, .

Passo 7

Agora, substituímos na fórmula da curvatura:
kappa(t) = |r'(t) times r''(t)||r'(t)|^3 = R^2R^3 = 1R

Resposta

A curvatura de um círculo de raio é .

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