A curvatura de uma curva
um dado ponto
é a medida de quão rapidamente a curva muda de direção em
e é dada por
onde
é o vetor tangente unitário em
.
(a) Mostre que a curvatura de um círculo de raio
é
.
(a) Mostre que a curvatura de um círculo de raio
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a curvatura de um círculo de raio
é
. Isso envolve entender o que é curvatura e como calcular usando as fórmulas dadas. Vamos precisar usar a definição de curvatura e algumas propriedades de círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a curvatura
de uma curva é dada por:
Aqui,
é o vetor tangente unitário, e
é o vetor posição da curva.
Passo 3
Vamos parametrizar o círculo de raio
. Uma parametrização comum é:
onde
varia de
a
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada
:
A norma de
é:
Passo 5
Em seguida, calculamos a segunda derivada
:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto vetorial
. No caso de curvas no plano, o produto vetorial dá uma componente na direção
:
Então,
.
Passo 7
Agora, substituímos na fórmula da curvatura:
Resposta
A curvatura de um círculo de raio
é
.