1. O custo médio total de produção de um determinado item é dado por \bar{C}^{\prime}(x)=\frac{1}{4}-\frac{17}{x^{2}}, na qual x é o número de unidades produzidas.
    (a) Encontre a função custo médio \bar{C}(x), sabendo que \bar{C}(4)=57.
    (b) Encontre a função custo total C(x).
    (a) O custo médio marginal \bar{C}^{\prime}(x) é a derivada da função custo médio total \bar{C}(x). Assim, para encontrar \bar{C}(x) integramos a função custo médio marginal.
    \bar{C}(x)=\int\left(\frac{1}{4}-\frac{17}{x^{2}}\right) d x
    \bar{C}(x)=\frac{x}{4}+\frac{17}{x}+k
    Em x=4 temos \bar{C}(4)=57.
    57=1 \frac{17}{4}+k \Rightarrow k=\frac{207}{4}
    \bar{C}(x)=\frac{x}{4}+\frac{17}{x}+\frac{207}{4}

Passo 1

O enunciado dá a derivada do custo médio total \bar{C}(x), isto é
\bar{C}'(x)=\frac{1}{4}-\frac{17}{x^{2}},
e pede (a) a própria função \bar{C}(x) sabendo que \bar{C}(4)=57 e (b) o custo total C(x). Vamos usar integração para achar \bar{C}(x) e depois usar a relação
C(x)=x\,\bar{C}(x)
para obter o custo total.

Passo 2

Para encontrar \bar{C}(x) integramos \bar{C}'(x):
\bar{C}(x) = \int\Bigl(\tfrac{1}{4}-\tfrac{17}{x^{2}}\Bigr)\,dx = \int\tfrac{1}{4}\,dx -17\int x^{-2}\,dx = \frac{x}{4} + \frac{17}{x} + k,
onde k é a constante de integração.

Passo 3

Aplicamos a condição inicial \bar{C}(4)=57:
57 = \frac{4}{4} + \frac{17}{4} + k = 1 + \tfrac{17}{4} + k = \tfrac{4}{4} + \tfrac{17}{4} + k = \tfrac{21}{4} + k,
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k = 57 - \tfrac{21}{4} = \tfrac{228}{4} - \tfrac{21}{4} = \tfrac{207}{4}.
Assim,
\bar{C}(x) = \frac{x}{4} + \frac{17}{x} + \frac{207}{4}.

Passo 4

Usando a relação entre custo total e custo médio,
C(x) = x\,\bar{C}(x) = x\Bigl(\frac{x}{4} + \frac{17}{x} + \frac{207}{4}\Bigr) = \frac{x^{2}}{4} + 17 + \frac{207\,x}{4}.
Podemos também escrever
C(x) = \frac{x^{2} + 207\,x}{4} + 17 \quad\text{ou}\quad C(x) = \frac{x^{2} + 207\,x + 68}{4}.

Resposta

(a) \displaystyle \bar{C}(x)=\frac{x}{4}+\frac{17}{x}+\frac{207}{4}.
(b) \displaystyle C(x)=\frac{x^{2}}{4}+17+\frac{207\,x}{4}.

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